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1、线性代数知识点总结全面版资料线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式、a ii把表达式aii a22&12&21称为a 21a 1?12所确定的二阶行列式，并记作a 22aiia 21a 12ai2aiia21a22ai1 a22ai2a2i.结果为一个数。（课本 P1）同理，把表达式aiia22a33ai2a23a31ai3a2ia32aiia23a32ai2a2ia33a13a22a31,称为由数a11ai2ai3ai1ai2ai3表&21a22a23所确定的三阶行列式，记作a21a22a23a31a32a33a31a32a33ai1ai2ai3即a21a22a23=aiia
2、22 a33ai2 a23a31a31a32a33ai3a2ia32aiia23a32ai2a2ia33ai3a22a31,二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组:对二兀方程组aii Na2i X|ai2X2*22 X2diai2设D0D1a21 a22ai2则xDib2a22Da11ai2a21a22aii Xiai2X2对三兀方程组a2iXi822X2a31Xla32X2b2biai2ai1biDpb：a22a21b2aiiX2D2a21b2T.（课本P2）Dai1ai2a21a22ai3X3bi
3、a23X3b2 ,a33X3b3ai1ai2ai3a21a22a23a31a32a33b1312313311b13133132D1b2322323,D2321b2323,D3321322匕2b3332333331b3333331332b3D1D2D3则x,X2,X3DDD。（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。第二节：全排列及其逆序数全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（或排列）。n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn （或An）表示。（课本 P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们
4、构成一个逆序个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2，n 1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2，n 1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义3113123213223n13n2定义：n阶行列式D31 n32n3nn等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘
5、31R32P23npn的代数和，其中P1 p2pn是1, 2,，n的一个排列，每一项的符号由其aii31231n逆序数决定。D32232nt 12 - n3113223nn33223nn也可简记为det 3ij ，其中3j为行列式（i, j 元）（课本P6）aii31231n根据定义，有D32132232nt P1P2 PnP132P23nPnP1P2 Pn3n13n23nn说明:1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方 程组的需要而定义的；2、n阶行列式是n!项的代数和；3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n个元素的乘积；t4、 a1pia2p/-an
6、pn的符号为1 ，t的符号等于排列P2,. Pn的逆序数5、一阶行列式a a不要与绝对值记号相混淆。推论1： 上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积a1 na2nannt 12 n1a11 a22 anna11a22“ ann推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。n n 11 F 1 2n (上述.推论证明课本P7例6）第四节：对换定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。推论 奇排列调
7、成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。 （上述二定理证明课本 P8），其中定理2 n阶行列式D det（qj的项可以写为（俨甌）a%q1q2qn是行标排列，p2pn是列标排列。（证明课本 P9）推论 设有n阶行列式D det（a ），则D(1)tgq?q“)(1)t(qiq-qn) “观 Pn)(1)a1 Pia2p2anPn（行列式三种不同表示方法）推论 在全部n阶排列中n 2，奇偶排列各占一半。证明 设在全部n阶排列中有s个奇排列，t个偶排列，现来证 s t。将s个奇排列的前两个数对换，则这s个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以s t。若将t个偶排列的前两
8、个数对换，则这 t个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不同，于是有t s。综上有s=t。第五节：行列式的性质D的转置行列式。1行列式与它的转置行列式相等。行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质说明（证明课本P9)a11厲2 lia1na11BBLa21an1a21a22aa2nTa12a ba22an2: :,D: an1an2anna1 n La2nann，行列式DT称为行列式定义 记D性质2互换行列式的两行 rirj或列 q 5，行列式变号。（证明课本P10）推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都
9、乘以同一数k（rj k），等于用数k乘此行列式；推论1 D的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面；推论2 D中某一行（列）所有元素为零，贝UD=0。性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零（证明课本P10）性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则a11a21a12a22(a1i2ia1i ) a2i)aa1n32nD:an1an2(aniani)3nnana12aiiamana12a1ia1na21a22a2ia2na21a22a2ia2nan1an2aniannan1an2 aniann性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对
10、应的元素上去，行列式的值不变。（课本 P11）计算行列式常用方法：利用定义；利用运算 ri krj把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明 行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成第六节行列式按行（列）展开余子式 在n阶行列式中，把元素 am所在的第i行和第j列划去后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作My。代数余子式记 Aj1 J M j，叫做元素ay的代数余子式。（课本P16）引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i, j） （i,j）元外ay都为零，那么这行列式等于aj与它的代数余子式的乘积，即D aijAj。（证明
11、课本P16）a11a12a1 na21a22Fa2nan1 an2annaiiAii定理n阶行列式D等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即ai 2Ai2* *ain An，(i 1,2,n)或DaijAija2 j A2 j1,2,，n)。（证明课本P17）扩展范德蒙德（Vandermonde）行列式11 1X1X2Xn222X1X2Xnn 1n 1n 1X1X2Xnanj Anj，( jnDn(xi xj)的证i j 1a11a12am展开定理推论n阶行列式Da21a22a2n011an 2ann（列）对应的代数余子式的乘积之和为零,即ai1 As1ai2 As2ainAsn0(is)或a1j At明见课本P18的任意一行（列）明课本P19）的各元素与另一行a2jA2tanjAt0 (j t)(证第七节克拉默法则0h Xa12X2nXnbi821X1a22 x2a2nXnb2如果线性方程组:的系数行列式不等于零,an1X1an2X2annXnbna2
