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1、谈谈解析几何中的一一解题编题组题教师的教学活动，决不单是备课与上课。特别是数学教师，整天打交道最多的，就是数学题了。本文(或本讲座)准备就解析几何的知识内容，说说与解题编题组题相关的问题。1解题1.1先看两个例子(本文各节自成例序)例1 一直线I与x轴、y轴都不平行，也不过原点；点M (x,y)在i上；点P (2, 1), Q(3x+2y-1,3x-2y+1)在与i垂直的直线i 上。求直线i的方程。例2 一张白纸上仅有双曲线的图象，试用圆规与直尺画出它的焦点。例1是一道与直线相关的题目，难道直线问题还有一般来说做不出来的题目吗？例2给人的感觉就是一道神秘兮兮、头绪玄乎的难题。作为高中数学教师，
2、具有一定的解题能力，甚至是解决具有相当难度数学问题的能力，应该说是必须 修行与具备的功力。对于解数学题所显现的能力范畴，主要是指哪些方面呢？1. 2解题能力，不言而喻，主要就是指普通数学问题不被难倒，甚至具有相当难度数学问题也难不倒 的能力。这里指的数学问题，当然主要是指中学数学范畴的基本初等数学问题。例2后面还要说到，我们先看例1的解决。1例1 解：设直线i的方程为y=kx+b,k存在,kb丰0, i /的方程为y1(x2).把Q代入，k1即有(3x-2y 1)-1 二 (3x 2y1)_2.化简，得 3(1+k)x+2(1 - k)y - 3=0. (1)k由于i /的方程经如此整理，变量
3、(x,y)就是i中的变量，斜率k就是i中的k,故化作了与kx - y+b=0。(2)同样的方程。比较(1)、( 2),应有3(1 k)k2(1 -k) -3 -1- b(kb = 0)由 2k2- 2k-3 - 3k=0, (k 3)(2k+1)=0。解得 k=3 或 k=1/2。k=3 时 b= 3/4 ; k= 1/2 时，b=1.c的方程为 y=3x-3或y = -x 1.42例1同一法的解题构思并不是那么容易“想到”的。而一旦“想到”，也就不显得稀奇。例 1的解决过程给我们以什么启示呢？1.2. 1所谓题目的难易，其实是相对的。即便是竞赛题，你熟悉了其中的门道，其命题的途径，其 解题的
4、构思，特别是基本的数学思想、方法、技巧，也就自而然之地融会贯通于其中，亦即不感觉到怎样 的难。否则，我国参赛队自加入国际奥林匹克数学竞赛以来，屡拿第一也就显得不可理解；另一方面，即 便是小学的数学题，也许也有你颇感为难的问题与时候。1.2 2所谓熟悉，是解决不了根本问题的。如例1,高中师生对于直线问题，不会不熟悉。因此，解有份量的题还得有灵感。所谓数学灵感，是对数学概念，数学题的条件与要求，理解与应用相当到位的一 种感觉。1.2 3解所谓难题，要有一定的知识、数学问题、数学思想与方法的积累；即要有相当的基本训练。 所以话还得说回来，毕竟熟能生巧。见得多了，练得多了，又有相当的思维机敏性，解题功
5、力一定渐长。1. 3解题能力除了解一定难题的功力，还指一般解题思路的清晰缜密，解题方法的简明得当，解题 过程的轻松自如。走了很大的弯路，烦琐地解出一道题，看来是成功了，也许却失败了。首先在理念上， 要十分清醒、十分明确地感悟到，数学就是一门追求简明的科学。在教学上，要鼓励用好方法，讲究用巧 方法；不主张满足结果。应追求思考在路子上，思维在点子上，思索在力度上。比如抛物线上任意四点构成的四边形能否做到一组对角相等。如果这样说明：如图1-1，对于等腰三角形OAB，比较弦AB上的圆周角，当 C离A较近时，显然/ C/ O C在相当远的地方，/ C接近于0。 其间必有点使/ C=Z 0。但有学生这样说
6、明：如图 1-2，作任意弦AC的垂直平分线交抛物线于 D B,则四 边形ABCD为筝形，/ A=Z G显然更简明直观。既然如此，就宜采用此法。笔者决不是排斥同一问题的不 同解法，而是说应追求相对更好更为切合的方法。1. 4 解题能力不光是解难题，巧解题，还注意功力体现于速度上。数学解题是应检测敏捷性的。这 样，就更要求理解、应用、解决的基本功要扎实，特别是一步步的验算与推理，保持连贯与正确应力求过 硬。在教学中要训练学生的认真、耐心、完备的心理素质，克服看题不细，做题不精，毛糙，不规范，不 知检查、反馈、整理等毛病。15正因为解题能力是一种显现综合素质的能力，所以怕做难题，或只做难题都是偏颇的
7、。不讲过 程，忽视规范与完备更相当有害。至厅高年级，更应讲究对解题能力的辩证理解。既不为一个小步骤的失 误耿耿于怀，要看到大的方面；又不能眼高手低，总是不以为然。读题与做题相结合。讲究质量、讲究效 率正是高年级特别是毕业班学生追求的目标；也是解题能力努力的一种境界。因此，主次概念、重轻概念、急缓概念，平中思变、稳中求奇，都是高境界以理性指导解题的基本策略。由于年龄、阅历的特点，即便 是高中学生，对题目及其解决的理解辨析能力是颇需训练的；相当关键的，是上述大小意识。2. 编题2. 1编题的意义、前提和准则当一名称职的数学教师，光有即便是出色的解题能力还不怎么样。必须要有不错的编题能力，才能称 之
8、为可以。从解题到编题，不能只看作层次差异，首先取决于你职业热爱与敏感激发的兴趣与动力。许多 教师只会解题，但绝对产生不了编题的激情，原因固然很多，总之对数学（教学）本职的认识与感悟也就差了一截。你想成功编题，编出好题，首先你必须熟悉与研究课程标准、考纲考点、考题特别是高考题的分 布特点、命题方向与价值取向。这个问题本身就具有复杂性。从命题者（小组）本人（自身）到广大师生， 对上述最基本、最重要问题的理解与看法都不尽相同；另一方面，光是对这些揣摩亦非上策，甚至不明智，陷入误区，或导致更有害更严重的后果。“阵而后战，兵家之常；运用之妙，存乎一心”。根本的问题还在于对知识的理解与掌握， 对基本技能显
9、现的基础与功力。一方面，历年的高考题，高考的命题方向与取向，其特点甚至规律不能不研究，特别是强调能力、创意的今天；另一方面，又不能绝对化，还是着眼于基础 训练与解题能力的提高。但毕竟说明了，你想编题，你必须先大量做题；先充分关注、了解、研究、整理 与数学问题，特别是典型数学题例相关的问题。在充分积淀的基础上，然后尽情发挥你的潜质，经过历练 与提升，于是，能编出题目，能编出好题目的成功前景会对你形成召唤。2. 2编题的几个主要成因你有了编题的内在要求，尝试着去做，体会、经验、愉悦自然会蕴含其中。就本文来说，当然也是最 实质、最主要的地方。本人想就此仅对解析几何知识内容所自编、改编的数学问题述之一
10、二，抛砖以引玉。2.2. 1“借题”以发挥如前已述，要想编好题，必先解好题，只是在做题时，多存着几分研究、探讨的心。我们知道，摩仿 往往是创新的前奏。先想想人家这题目是怎样形成的，要解决什么问题。由此有何可深掘之处，因之培养 感觉。举例如下：例1在标准形式的椭圆、双曲线中，M是过x轴焦点、斜率为 k1的弦的中点，M0的斜率为k2,则成立e2=1+k1k2。在抛物线中，有类似结论吗？有圆锥曲线的同一关系式吗？1这是蒲荣飞提到的一个数学问题，其实并不难解决。笔者否定了这个结论。得到的结果是:-0 (e=1).抛物线 y2 =2px (p 0)中, k2.即显然 k2k1永2k22+k12+k1M
11、, OM的斜率为k。然而，这个结果的关系式太好，这样，一个数学问题随之产生： 题1已知抛物线y2=2px (p0)的焦点弦AB的斜率为a, AB的中点为“畔,。2(0，划( 2a 把k表示为a的函数。k= , a式0 求k的取值范围。I1+a2丿你看，多好的一道难度适中、题味隽永的题！2 2X y题2 B是已知椭圆1的上顶点，过 A (0, - 1/3)的直线交椭圆于 P、Q,试判断 BPQ54是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形且证明之。本题的编拟是基于以下的结果：2 2结论1在椭圆 占=1 (a b 0)中，长轴上的顶点A为直角顶点的内接三角形APQ中,弦PQa2 b2过定点M 土a(-
12、旳0 ；短轴上顶点b为直角顶点的内接三角形 BPQ中，弦PQ过定点|M0二b(。 I a+b丿I a+b 丿所取符号由图形很易确定。由结论1, A (0, -2/9 )时， BPQ恰为直角三角形；A继续上移，则 BPQ就是钝角三角形了。需要 说明的是，对于 BPQ只有/ B可能为非锐角。另外，在双曲线中，也有类似结论:结论2在双曲线b2=1(a 0,b0,a = b)中,自实轴的一个端点 A,作互相垂直的两直线交双曲线于P、Q,则PQ所在直线过定点-a(a2 b2)a2 -b2端点与定点相应值的符号相同。2、3这种以圆锥曲线顶点为直角顶点的对应直角三角形过定点，对于抛物线而言，结果就更为我们所
13、熟知了：2结论3 过抛物线y=2px (p0)的顶点O作互相垂直的弦 OP、OQ,则弦PQ过定点M(2p,0)。当然，借题以拟题必须要有一定的解题意味，从一个题改变一两个数据形成另一个题并无趣味。但从 重要的特点和结论出发，把需要考查的知识串联其中，情况就大不相同。如题2，对 BPQ的形状判断,可由BP BQ与0的比较解决之。化一般字母结论为特殊数据推算，正符合考查的要求。2.2. 2贯彻以“目标”有时我们确定一个问题的考查方向，又希望结合相应的知识点给出考题，这时只要问题背景设置得当，深入而细致的思考设计，由量变积累到质变飞跃，好题目可以逐步成形完善。比如笔者希望编拟一道圆锥 曲线里的数列题
14、，殚精竭虑，思之再三，终于拟成一题：题3 如图3, P1 , P2，, P3是抛物线 y=x2上x=1,2,3,上的点，求2 2 2 2S =OPj P-P2 F2R 亠 亠 PnjPn-2，2n(2n +1)32.2. 3反用以陈题有的陈题具有一定的典型特征，加强认知可以巩固知识， 亦同时强化解题能力。本着强主枝、去次蔓的解题精神， 对这样的题改造变衍以形成新题是一种对路的思索。请看题4如图4，已知抛物线Y2=2PX (P0)上任意一点A(Xo,Y)， A关于轴的对称点为 B，B向右平移2P个单位至M,(在一条直线上)團4又过A作抛物线的弦 AP、AQ且AP丄AQ，试问P、M、Q三点是否在一
15、条直线上?其原题是，前面我们曾说到结论 3，抛物线上的弦 0P丄OQ时，PQ过定点M (2p,0)。其实直角顶点不 定是抛物线的顶点，当它任意时，如为A (x o,yo)，贝y PQ过定点M(xo+2p , -yo)。此即题4的相反结论。但有意义的是，证明PQ过定点M,不如证明已知 M时，P、M、Q在一条直线上更有做头。不妨按NP二MQ证明之，更符合解析几何结合向量知识的解题意蕴。只是抛物线设做参数形式:x =2pt2J =2pt更方便于解决。提到结论3,笔者也有题在编：题5在射线OQ上取长度为2p的线段OP, 动点M满足1 応MOP - d . MPQ=arctan(tan2,0-.2 4建立适当的平面坐标系，求动点 M的轨迹方程，并说明曲线名称。延长MP到N，使ON丄0M，证明点N也在以(1)取消范围限制后点 M的轨迹上。其中(1)的解就是抛物线段 y2=2px。(y2p)可见陈题反用是一个很好的拟题途径。只是反用时要经过匠心设计，周三打磨，应使因之拟出的题看 不出，
