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1、高考数学最新资料第7讲空间向量的应用基础巩固1.下列命题中,正确命题的个数为()若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n2=0;若n是平面的法向量,a所在的直线与平行,则na=0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1B.2C.3D.4答案:C解析:命题中平面,可能平行,也可能重合;结合平面法向量的概念,易知命题正确.故选C.2.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的法向量为n=(2,-2,1),已知P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2C.3D.1答案:B解析:d=2.3.已知向量m,n分别是直
2、线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-,则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.150答案:A解析:cos=-,来源:sin =|cos|=.又直线与平面所成角满足090,=30.4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60B.90C.45D.以上都不正确答案:B解析:E是BB1的中点且AA1=2,AB=BC=1,AEA1=90.又在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD平面ABB1A1,A1D1AE.因此AE平面A1ED1.故所求角为90.5.如图所示,已知正方体ABCD-A
3、1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角是()A.60B.45C.30D.90答案:B解析:以D为原点,分别以射线DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),E,F,于是=(0,1,0).cos=-,=135.异面直线EF和CD所成的角是45.6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为()A.75B.60C.45D.30答案:C解析:如图,在四棱锥P-ABCD中,过点P作PO平面ABCD于点O,连接AO,则AO是AP在底面ABCD上的射影,从而可
4、知PAO即为所求线面角.AO=,PA=1,cosPAO=.故PAO=45,即所求线面角为45.7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD的夹角的余弦值为()A.B.C.D.答案:B解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),E,D(0,1,0),于是=(0,1,-1),设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z),则解得故n1=(1,2,2).平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=.故所求的夹角的余弦值为.8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中
5、点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案:解析:以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).=(-1,0,2),=(-1,2,1).故cos=.9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是C1D1,CC1的中点,则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为.答案:解析:以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,来源:如图,则B1(2,2,2),N(0,2,1),=(2,0,1).又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),则=(2,2,0),=(0,1,2
6、),可得平面BDM的一个法向量n=(2,-2,1),因为cos=,所以直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.10.(2013湖北黄石月考)在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D中,过顶点B,D,C1作截面,则二面角B-DC1-C的平面角的余弦值是.答案:解析:取C1D的中点O,连接BO,CO,则BOC1D,COC1D,即BOC是二面角B-DC1-C的平面角.设正方体的棱长为1,则CO=,BDC1为正三角形,OB=.故cosBOC=.11.如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.(1)求证:EF平面PAB;(2)求
7、证:平面PAD平面PDC.证明:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),E,F,于是=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).(1)=-,即EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.(2)=(0,0,1)(1,0,0)=0,=(0,2,0)(1,0,0)=0,即APDC,ADDC.又APAD=A,DC平面PAD.DC平面PDC,平面PAD平面PDC.12.
8、如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PA与平面ABD所成的角为60,在四边形ABCD中,ADC=DAB=90,AB=4,CD=1,AD=2.(1)建立适当的坐标系,并写出点B,P的坐标;(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值.解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,ADC=DAB=90,AB=4,CD=1,AD=2,A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).由PD平面ABCD,得PAD为PA与平面ABCD所成的角,PAD=60.在RtPAD中,由AD=2,得PD=2,因此点P的坐标为(0,0,2).(2)=(2,0,-2),=(-2,-3,0),cos=-.PA与B
9、C所成的角的余弦值为.13.(2013重庆,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,ACB=ACD=,F为PC的中点,AFPB.(1)求PA的长;(2)求二面角B-AF-D的正弦值.解:(1)如图,连接BD交AC于O,因为BC=CD,即BCD为等腰三角形.又AC平分BCD,故ACBD.以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,来源:则OC=CDcos=1,而AC=4,得AO=AC-OC=3,又OD=CDsin,来源:故A(0,-3,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0).因PA底面ABCD,可设
10、P(0,-3,z),由F为PC边中点,F.又=(,3,-z),因AFPB,故=0,即6-=0,z=2(舍去-2),所以|=2.(2)由(1)知=(-,3,0),=(,3,0),=(0,2,),设平面FAD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1=0,n1=0,得因此可取n1=(3,-2).由n2=0,n2=0,得故可取n2=(3,-,2).来源:从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=,故二面角B-AF-D的正弦值为.拓展延伸14.如图甲,在直角梯形ABCD中,ABCD,BAD=90,AB=2,AD=3,CD=1,点E,F分别在AD,BC
11、上,且AE=AD,BF=BC.现将此梯形沿EF折至使AD=的位置(如图乙).(1)求证:AE平面ABCD;(2)求点B到平面CDEF的距离;(3)求直线CE与平面BCF所成角的正弦值.(1)证明:由题意知AE=1,DE=2,AD=,AE2+AD2=DE2,EAD=90,即EAAD.又EAAB,ABAD=A,AE平面ABCD.(2)解:作AKDE于点K.AE=AD,BF=BC,ABEF.又AB平面CDEF,EF平面CDEF,AB平面CDEF.因此点B到平面CDEF的距离即为点A到平面CDEF的距离.EFAE,EFED,EDEA=E,EF平面AED.AK平面AED,AKEF.又AKDE,DEEF=E,AK平面CDEF.因此AK的长即为点B到平面CDEF的距离.在RtADE中,易求得AK=,故点B到平面CDEF的距离为.(3)解:以点A为坐标原点,AD,AB,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图,则B(0,2,0),C(,1,0),E(0,0,1),F,=(,-1,0),=(-,-1,1),设平面BCF的法向量n=(x,y,z),由得n=.设直线CE与平面BCF所成的角为,则sin =.故直线CE与平面BCF所成角的正弦值为.
