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1、天津职业技术师范大学Tianjin University of Technology and Education毕 业 论 文天津职业技术师范大学本科生毕业论文带有隔离的传染病模型的全局分析Global Analysis of Epidemic Model with Quarantine摘 要国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。本文主要讨论的是带有隔离的SIQS传染病模型。首先根据易感人群，染病人群和已经染病并且被隔离的人群建立一个关于带隔离传染病
2、的SIQS模型。接着对所建立的模型中的偏微分方程组转化成方差方程组，然后求出该系统的平衡点，根据平衡点得到雅可比矩阵。再根据得到的雅可比矩阵依据定理和推论说明平衡点的稳定性。关键词：SIQS模型；差分方程；平衡点ABSTRACTFirst create a band isolated on infectious diseases SIQS model. Then on the established model of partial differential equations into variance equations, then find the balance point of th
3、e system, according to the balance point to get the Jacobian matrix. According to Jacobian matrix based on theorems and corollaries illustrate the stability of the equilibrium point. Key Words：SIQS model; Differential equation; Equilibrium point目 录1 引 言12 稳定性理论32.1矩阵的范数32.2全局的稳定性42.3线性系统的稳定性92.3.1非自
4、治线性系统92.3.2自治线性系统102.4相空间分析122.5线性渐近稳定133 建立模型184 模型求解204.1求平衡点204.2平衡点的稳定性21结 论23参考文献24致 谢2525天津职业技术师范大学2013届本科生毕业论文1 引 言在世界迅速的全球化的今天，传染病仍是当今世界范围内引起人类死亡的主要原因，而新传染病（甲型H1N1流感，AIDS病，SARS）的出现、旧传染病（性病、结核）的复苏，均构成了对人类健康的巨大威胁。因此，传染病的防制是关系到人类健康和国计民生的重大问题，对疾病流行规律的定量研究是防制工作的重要依据。传染病动力学就是根据疾病发生，发展及环境的变化等情况，建立反
5、映其变化规律的数学模型，通过模型动力学性态的研究来显示疾病的发展过程，预测其流行规律和发展的趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其进行预防和控制的最优策略，为人们防制决策提供理论基础和数量依据。传染病动力学的研究中，模型的建立一直是直观重要的。早在1760年，D.Bernoulli就用数学模型研究过天花的传播，但确定性的传染病模型始于二十世纪。1906年Hamer为理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散模型。1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究，得到了疟疾流行与否的临界值，Ross因此而获得第二次诺贝尔医学奖。1926年Ker
6、mack和McKendrick为研究1665-1666黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，提出了疾病流行与否的阀值理论，为传染病动力学的研究奠定了基础。传染病动力学的模型与研究于20世纪中叶开始蓬勃的发展。其标志性的著作是Bailey于1957年出版、1975年第二版的专著，近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于研究各种各样的传染病模型，由于隔离和接种是行之有效的控制传染病蔓延的极为重要的措施，因此研究带有隔离或接种的传染病模型就十分重要。生态系统是在一定空间范围内，各生物成分和非生物成分通过能量流动、物质循环、信息
7、传递和价值流向而相互作用、相互依存所形成的一个生态学单位。任何一个生态系统都是结构和功能相互依存，相互制约的统一体。结构和功能相互适应、完善，使生态系统在一定时间内各组分通过制约、转化、补偿、反馈等机制处于协调稳定状态。在其弹性限度以内的外来干扰下，生态系统通过自我调节，可以恢复到初始的稳定状态或者保持一定的稳态平衡。生态系统具有稳定性、可测性和可控性三大属性，是个多层次、多因子、多变量的系统。对它的管理和研究，也是多方面的，只用常规的定性描述和一般的数理统计，搞不清它的内在规律。用系统分析的方法对生态系统进行全面的分析，建立数学模型，找出物质生产、能量流转和价值流向的定量规律，对生态系统实行
8、管理、预测和调控，使其持续稳定发展已成为现代生态学研究的重要课题和前沿领域之一。依照分离的时间间隔来模拟世界，这是一种有效的方法就像时钟一样，不是连续滑动，而是一秒一秒往前跳动。微分方程描述了随时间而平稳变化的过程，但微分方程难以计算；对于一种状态跳到另一种状态的过程可以采用简单些的方程差分方程。假设在种群中无传染病存在时，总群的增长规律就是种群总数与出生率和正常死亡率差的乘积。在传染病存在于种群中的时候。设总种群（N）分为易感类（S）和染病类（I）。若传染病恢复后不具有免疫力，即染病者恢复后又成为易感者。这时相应的传染病模型称为SIS模型。模型一般适用于由细菌引起的传染病。当引入隔离后，总种
9、群（N）分为由易感个体组成的子种群（S），由已经染病但未被隔离的个体组成的子种群（I）和由已经染病并且被隔离的个体组成的子总群（Q）。设被隔离者恢复后也不具有免疫力，即恢复后又成为易感者，这时相应的传染病模型被称为SIQS模型。 2 稳定性理论2.1矩阵的范数 我们开始本节引入的概念，向量和矩阵的范数。定义2.1。实值函数的向量空间V被称为范数，用表示，如果下面的性质成立：和当且仅当对于所有的和标量对于所有的.最常用的三个范数如图2-1所示。在这里，我们要注意，所有范数在这个意义上是等价的，如果，是任何两个范数，那么存在常数，使得 因此，如果是在中的数列，然后当当且仅当，当对应每个向量范数在。
10、一个可以用KK矩阵A定义这个范数为 它可以容易 使用这个定义，可以很容易地计算相对上述三种范数如表2-1所示。 ，我们可以推断，任何范数 其中谱半径的特征值A。表2-12.2全局的稳定性让我们考虑向量差分方程 其中。我们假设有在中是连续的。回想一下，被说成是自主或时间不变的，如果变量n不显式出现在右边的方程 。则可以被说成是周期性的，如果所有正整数 N有A点对被称为在的平衡点，如果对所有时。在大多数的文献中被假定为原点O，被称为零解。这个假设的理由如下：设则成为 请注意，的对应于。由于在许多情况下，也不是很方便，使这个坐标变换，我们将假设，除非它是这样做的更方便。回想一下，在以前，我们处理的存
11、在性和唯一线性系统解决方案，这个情况下解的存在性和唯一性。，其中是一个矩阵。我们现在准备推出的各种稳定的平衡点的概念。定义2.2平衡点在被说成是：（一） 稳定性，如果给定的和，存在，意味着 对所有都是均匀稳定的。如果会独立选择时，则他不是稳定的。（二） 渐近性，如果存在当意味着，一致渐近。如果是选择是独立的。一致渐近的条件可能会转述成，存在，使得每个和存在独立，当对所有，每当。（三） 渐近稳定性，如果它是稳定和渐近的，且均匀渐近稳定，如果是均匀稳定和均匀渐近。（四） 指数稳定性，如果存在，和。，当, （五） 解是有界的，如果一非负的常数M，为所有，其中M可能取决于每个解。如果在部分（二），（三
12、）或部分（四）时，相应的稳定是被认为是全局性的。在图2-2中，我们压制（时间）n和只显示运动的一个解，为球内的半径。下图所示，未来所有状态中，时。会留在球内。此图被称为相空间画像，并且将在后面的章节中广泛使用。图2-2 在相空间中的稳定平衡图4-3 稳定平衡图2-4 一致渐近稳定平衡点图2.5 稳定性概念层次在图2-3中，表示时间是一个三维坐标系统的一部分，并且提供了另一种视角的稳定。图2-4描述了一致渐近稳定的零解。请注意，在上面的定义中，一些稳定点意味着一个或多个。图2-5显示了层次结构的稳定性的概念。重要说明：在一般情况下，图4-5中的箭头不可能逆转。然而，对于特殊类别的方程，这些图4-
13、5中的箭头可能逆转。在本节中，将显示的线性系统 其中，是一个KK矩阵Z上定义的一致渐近稳定性意味着指数的稳定性（UASES）。对于自治系统 我们有下面的结果。定理2.3。对于自治系统，下面的语句是关于平衡点：证明。设和对于的两个解，。请注意，和在时相交。通过独特的方案解决。这意味着，在稳定的定义中的是相对于初始时间独立的。这样就确立了我们的结果。证明和跟证明的时候类似。下面的例子是对定义的说明。1 该标量方程的解由下式给出的，因此零解是均匀稳定，但不是渐近稳定的。2 标量方程的解是因此，可以得出以下结论：（一） 零解是稳定的，当且仅当其中M是一个取决于的正的常数。此条件成立的情况下，如果其中。为了说明这一点，我们写出的解，当。因为，它遵循由于和，如果我们让，然后意味着。（二） 零解是一致稳定的，当且仅当 其中M是一个相对于独立的正常数。如果则条件成立。（三） 零解是渐近稳定的，当且仅当 这种情况清楚地认为，如果。该解是由决定的。因此，零解是一致稳定和渐近稳定（全局），但不是一致渐近稳定。 （四） 零解是一致渐近稳定（从而指数稳定），当且仅当 对于一些，。如果这可能是成立的。定理2.7。在实线上有一个连续映射吸引不稳定的固定点。为了方便定理的证明，我们首先建立一个稳定的相对于独立的结果，因为不要求可微性。定理2.8
