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1、巧用数形或形数结合思想解数学题环江县大才中学 卢云【摘要】：数形或形数结合的思想都来源于数学的统一性。数学知识体系是统一的、互相贯通的。数就是从丈量几何线段的长度、几何图形的面积等得到的。反之，几何图形也可以表示数，如数轴上的点。因此，我们在解题时，若能正确、灵巧地运用数形或形数结合思想，把数学的知识统一起来，即把“数”与“形”有机地结合起来，就能拓宽解题思路，大大提高解题效益，以下我们将就如何巧用数形结合思想与形数结合思想来解数学题，分别进行讨论。【关键词】：数形结合思想、形数结合思想一、数形结合思想在解题中的巧用数形结合思想方法的特点是由数思形，将抽象的数式化成直观的图形，以形助数。1当遇
2、到用代数方法所有能或难以解决的代数问题时，若能巧妙地把几何中的图形与代数问题结合起来，则会对解题有很大的帮助。利用数形结合解题的关键是建立数形对应，把握好数形转化，将复杂问题简单化、明朗化，抽象问题形象化、具体化，从而达到解决问题的目的。以下就以几个例子来说明数形结合思想的解题妙处。例1：求函数的最小值。分析：该题若是运用函数的什域来求函数的最小值，则较繁锁且不易运算。若根据函数式联想到点间距离公式，把问题化归几何量的最值，则简单明了。解：用配方法把函数式写为：yB0X+2y=3图2y0BAA图1xAx问题转化为在x轴上求一点p(x,o)，使p分别到点A（1，2）与B（2，3）的距离之和最小，
3、取点A(1,2)关于x轴的对称点A(1,2)，则 2例2：在满足x+2y3，x0，y0的条件下，2x+y能达到的最大值是 。（2000年希望杯第十一届初一第二试试题）分析：若能由代数不等式联想到直角坐标系中直线与坐标轴的截距，采用几何方法来解，则能优化解题。解：如图所示，在平面直角坐标系中，作出x+2y=3，满足条件x0，y0，x+2y3约束的点集是图中x+2y=3这条直线与x、y轴围成的三角形区域（包括边界），要求s=2x+y的最大值，把s=2x+y变形为y=-2x+s其相应的图像是斜率为-2的平行直线束，欲求s的最大值，转化为平行线通过三角形时截距的最大值。显然，当平行直线束的直线，通过A
4、（3，0）时，截距最大，此时S=6。例3：某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3片，磁盘至少买2盘，则不同的选购方法共有（ ）。（A）5种 （B）6种 （ C）7种 （D）8种（2000年武汉初三数学选拔赛试题）分析：该题看上去似乎与几何沾不上一点边，Bycx=3Ay=2x图30但如果看了下面我们用几何法来解，你就会觉得太妙了！略解：设软件和磁盘分别是x片和y盘。由题意，x3，y2，60x+70y500，在同一平面直角坐标系中作出x=3，y=2，60x+70y=500，三条直线的图象，它们的交点分别是A（6，2）、B（3，
5、），C（3，2），问题转化为ABC区域（包括边界）的格点，个数一共有（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（3，3），（3，4），（4，3）7个格点。方案有7种，选（C）例4：已知一元二次方程x2+5mx+n=0的两根在一元二次方程x2+5mx+3n-5=0的两根之间，0y1y2xy图4求n的最大整数值。解：一元二次方程x2+5mx+n=0的两根在一元二次方程x2+5mx+3n-5=0的两根之间，即：函数y1=x2+5mx+n与x轴的交点在函数y2=x2+5mx+3n-5与x 轴的交点之间。2又函数y=x2+5mx+n与y=x2+5mx+3n-5的开口方向大小相同，且顶点横坐标均 ，
6、只需函数y=x2+5mx+n的顶点在函数y=x2+5mx+3m-5的上方即可，即： 解得: n的最大整数值为2。评注：本题的解题关键是把方程问题转化为对应的函数图象问题来解。二、形数结合思想在解题中的巧用形数结合思想方法的特点与数形结合思想方法的特点正好相反，形与数结合的概念：对图形的认识与对数量的认识结合起来，也就是研究几何的固有特点的同时联系到数量，使两者一致，达到形与数的结合。（4）在一些几何问题中，当出现较多等量关系时，常常感到用几何方法难以解答。此时，若能利用代数方法来结合图形的性质，即用数表示各向何量并列出各几何量之间的代数关系式（或方程、方程组），并用代数方法解之，我们就会发现原
7、本复杂的几何题被我们简化了。在此我通过几道形数结合的例题来演示如何用形数结合思想优化解题。例5：已知如图5，P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP。分析：四边形ABCD是正方形，且BP=3PC，Q是CD中点，若我们设正方形ABCD边长为4，则即可得到BP、PC、DQ、QC的具体值，最后可通过相似三角形各对应两两之比的比值相等这一性质得出ADQ QCP。P图5ABDC1224证明：设正方形ABCD的边长为4，则AD=4，DQ=QC=2，CP=1 且DC90 ADQQCP例6：如图6，已知等边ABC中，点P.Q.R分别在AB、BC、CA上,且PQBC,
8、QRAC . RPAB（1）求证：PQR是等边三角形；（2）如果ABC的面积是S，求PQR的面积。（上海市中考题）简析：由题中条件直接证PQ=QR=RP非常困难。几何法难以证明，则我们应该考虑代数法，若用设元法，寻找各几何量的关系，联立方程组，则可顺利获解。解：（1）设AB=BC=CA=a，PA=x，BQ=y，CR=Z，因为ABC为等边三角形，则ABC60，又RPAB，PQBC，QRAC图6CBAPRQARPBPQRQC30，则AR=2AR=2x，RP=x。同理，BP=2y，PQ=y，CQ=2z，QR=z，于是有： 解之得：x = y = z =aRP=PQ=QR=a，即PQR是等边三角形。（
9、2）由PQRABC得： 例7：已知如图7，在矩形ABCD中，CHBD于H，AE平分BAD，AE交HC的延长线于E，求证：CE=BD。分析：由题中条件直接证明CE=BD很困难，且该题中出现的等量关系较多，则我们可以考虑用代数方法。证明：设与ACB相等的角为x，在矩形ABCD中，AC和BD是对角线，且CHBD。ACB=DBC=HCD=x。BCD=90xFABDCOxx图7EACH=90- 2x = 1 + E由ACH=1+E，又由AFB=1+x 得: 解得1=EAC=CE，又BD=AC，CE=BD评注：不能看出，解这道题的关键是证明1=E，本题在证明这两个角相等时采用的方法别致新颖，是巧用了形数结
10、合思想。5例8：如图8，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点。若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定HAF的大小，并证明你的结论。（1998年北京市中学生数学竞赛复赛试题）。分析：此题是结论未知型探索GB图8CAMDHPFxE1试题，出现的等量关系较多，我们可用设元法解。 简解：设正方形的边长为a， AE=BF=x，AG=DH=y， 则2xy=(a-y)(a-x)，即a（x+y）=a2-xy 而FH2=(a-x)2+(a-y)2 =x2 + y2 - 2a(x+ y )+2a2 =x2 + y2 - 2(a2 - xy ) + 2a
11、2 =x2 + y2 + 2x y = (x+y)2FH=x+y，又BF + DH =x+yFH = BF + DH . （这是解题的关键）延长FB至M使BM=DH，则RtABMRtADH，1=2，AM=AH，MAH=1+BAH=90又易证AMFAHFHAF=MAF= MAH=45数形结合思想方法与形数结合思想方法都是中学阶段的重要思想方法。虽然数形结合是由数思形，而形数结合是由形思数，两者的特点不同，但数形结合与形数 结合都是“数”与“形”的相互结合与相互渗透。数学最基本的要素就是“数”与“形”，把数学的两个基本要素结合起来，能发挥学生无穷无尽的想象空间并发散学生的思维，而且它体现了数学的美和无穷的魅力。作为一名中学教师，在今后的数学研究中，若能有意识地不断训练和培养学生巧用数形与形数结合思想来解题，就会达到提高学生能力，开发智力的效果。参考文献1张定强数形结合的几条途径发表于数学教学通讯2001年第5期2高宁数形结合在解题中的应用发表于数学教学通讯2001年第3期3邱德跃用数形结合法研究函数问题发表于初中教学教与学2002年第3期4、5黄功炳一题多变与形数结合发表于数学教学通讯2001年第一期
