《数列通项公式的九种求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式的九种求法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目.2例1 等差数列an是递增数列，前n项和为Sn，且a1, a3, a9成等比数列，S 85 求 数列an的通项公式解：设数列an公差为d(d 0)2 _ai, a3, a9成等比数列，. 83 =aia9 ,2 2即(ai +2d)=ai(ai +8d)，得 d =aid d =
2、0ai = d-S5 = a55 425ai - 一d = (ai - 4d)233ai :由得：5 ,533 3a n(n -i)n55 5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。二、累加法求形如an -an 4二f (n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, 可用累加法，即令 n=2, 3,n i得到n i个式子累加求得通项。例2已知数列an中,an _an4解：由已知得ai=i，对任意自然数in(n i),an = an/n都有n(n i)，求 anian 4 _anQ :(n T)n ,a3a21an- ai =
3、2 3i _ i i n(n i) n n i1+亠+亠 (n-2)(1-1) (n-i)n n(n i)i丄 a丄丄n=2 n i ,2 n in i个式子累加求出通项，这种方法最终转化点评：累加法是反复利用递推关系得到为求f(n)的前n 1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如an 1 = qan d(其中q, d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。 例3.已知数列an满足a1=1，且an3an 1，求an .n丄3 -1 解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32昂-2+3 1+1 =3n-1a1+3n-2 1+3n-3 1 + +3 1+1=2点评：因为运
4、用迭代法解题时，一般数据繁多，迭代时要小心计算，应避免计算错误， 导致走进死胡同.四、公式法an式;解:若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列a的通项an可用公式 ；Sn=VSnn =1-Sn二n _ 2求解。已知数列a 的前n项和Sn满足Sn =2an (-1)-1 .求数列an 的通项公二 S = 2a1 -1,得 a1 = 1.当 n H 2时 有 an =Sn Sn 二= 2(anan)*21), an =2an2(-1)二a*= 2a*_2 +2汇(-1) a2 = 2a1 -2.,an =2nJa *2叫1)+2n入曲II +2讯1严=2n 1 (-1)n(2)n1 (2)n
5、2)3弓严(_1)目.a 1an =22+(1严经验证a1二1也满足上式，所以30 - Snn X2求解时，要注意对n =1an =丿点评：利用公式 时一定要合并.五、累乘法n分类讨论，但若能合写an 1对形如an 子累乘求得通项。二 f(n)的数列的通项，可用累乘法，即令 n=2 ,3,n 1得到n1个式例5 .已知数列 玄*中，a13，前n项和Sn与an的关系是5 =n(乃一加，求通项公式an .解：由 Sn =n(2n -1)an得 Sn = (n-1)(2n-3总4 两式相减得：(2n 1)a(2n-3)an4,an _ 2n -3an A 2n 1an 22n-52n1将上面n 1个
6、等式相乘得:空 (2n -3)(2n -5)(2n -7)|3 13ai(2n 1)(2n -1)(2n -3)山7 5 一(2n 1)(2n -1)1an(2n 1(2n -1)点评：累乘法是反复利用递推关系得到n 1个式子累乘求出通项，这种方法最终转化为求f(n)的前n 1项的积，要注意求积的技巧.六、分n奇偶讨论法在有些数列问题中，有时要对n的奇偶性进行分类讨论以方便问题的处理。例6.已知数列an中，31 = 1且 3n3n+1 =2求通项公式.解:an3n+1=2(;)an+1an+2=21 n 1)4 ，两式相除，得an 21an =4，则 a1 ,as,a5,a2n-1,1和a2,
7、a4,a6,孙，都是公比为4的等比数列，又 a1=1,a2= 2，则:(1) 当 n为奇数时，丄 n_11 _n1 an =1 () 2 -4 24; (2 )当n为偶数时,an冷(护=41-n1 _n点评：对n的奇偶性进行分类讨论的另一种情形是题目中含有(-1)时，分n为奇偶即可自然引出讨论.分类讨论相当于增加条件，变不定为确定.注意最后能合写时一定要合并。 这是近年高考的新热点，如 05年高考江西卷文科第 21题.七、化归法想方设法将非常规问题化为我们熟悉的数列问题来求通项公式的方法即为化归法同 时，这也是我们在解决任何数学问题所必须具备的一种思想。1例7 .已知数列an满足a15且当n
8、1,nN*时,有Zh?3口 1.a1_21 求 ann K2时，由旦7 =空丄口解：当3n1 - 2an得an4 -3n -4an4a0/曰 11,anan 丄得，=4两边同除以an an4,1 1-=4 对 n 1且 n N *成立,即an a.丄1 是以 an首项为5,公差为4的等差数列.1 1 1n 4n 1(n - 1)d =4n 1,所以,a3n1点评：本题借助T为等差数列得到了 d伽通项公式，是典型的化归法.常用的化归还有取对数化归，待定系数化归等，一般化归为等比数列或等差数列的问题，是高考中的常见方法.八、“归纳一猜想一证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜
9、测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳一猜想一证明”法.例8.若数列办匚满足：a=1，an2an 3 2 一,计算a2, a3, a4的值，由此归纳出 an 的公式，并证明你的结论.解：T a2=2 ai+3 x 2 =2 x 1+3 x 2,a3=2 (2X 1+3X 2) +3 x 21=22x 1+2X 3x 21,a4=2 (22x 1+2x 3x 21) +3x 22=23x 1+3 x 3x 22;猜想 an=2nT+ ( n- 1)x 3 x 2n2=2旷2 (3n 1);用数学归纳法证明：1当n=1时，a1=1x =1，结论正确；2 假设 n=k 时，ak=2k (3k
10、 1)正确,当 n=k+1 时，ak2ak 3 2kJ =2kJ(3k -1) 3 2kJ= 2kl(3k 2) =2(k1)3(k 1)-1,结论正确；由 1 、2 知对 n N* 有 an = 2 (3 n - O点评：利用“归纳一猜想一证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学 归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设.九、待定系数法(构造法)求递推式如an1二pan q ( P、q为常数)的数列通项，可用待定系数法转化为我们熟 知的数列求解，相当如换元法。例9.已知数列an满足a1=1，且an+1 = 3an +2，求an .解：设 an* +t =3(an +t)，则
11、 an卅=3an +2t ,t =1 , an 13(an 1T an 1为等比数列，a* +1 = (a1 +1) 3 =2 3a* =2 3 -1点评：求递推式形如anPan q (p、q为常数)的数列通项，可用迭代法或待定系qq数法构造新数列an+1+ p _1 =p(an+ P _1 )来求得，也可用“归纳一猜想一证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.例 10.已知数列an满足 a1，an =3 2an J(2).求 an.解：将an2务二两边同除亞=1 + 2anX並=1 + Z an Jnnnnn -13 ,得33，变形为33 3设 7，则 bn lbnJ2 2 1 bn
12、 -t(bnj -t),即 bnbn 4t令333 ,2bn 一3 = (bn4 3)得t =3 .条件可化成3,数列-33为首项,23为公差的等比数列.bn(l)n1 因bn T得 an = 3n 1 -2n 2 .，所以叮(-8 (l)nJ 3)n申 点评：递推式为an 1二pan qanJ1 n -4（p、q为常数）时，可同除q ，得q令专从而化归为an q（p、q为常数）型.2 a3a*i = 1,a2 = 2, an 2 例11.已知数列an满足解：设 an 2 - San 1 = t(an .1 - san ).1 n 1 a.亠3 求 an.展开后，得务2 =(t S)an勺一 tsan .2 1 1s t , sts =1,t由33，解得3 ,1an 2 - an 1(an 1 - an ).13为公差的等比数列，条件可以化为3得数列an 1 -是以a2 _a1二1为首项，1、n J.a. 1 _ an （）n1 n 3.问题转化为利用累加法求数列的通项的问题，解得点评：递推式为an 2二Pan1qan（ p、q为常数）时，可以设an 2 -彳二t（an 1-洌）,其待定常数s、t由s V = p,st = -q求出，从而化归为上述已知题型.
