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1、教案 新乡市外国语学校 张书蕊一、教学目标1智能方面：使学生理解增函数、减函数的概念，函数单调性及单调区间的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性2情思方面：通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力培养学生利用概念进行判断推理的能力通过本节课的教学，渗透数形结合思想，对学生进行辩证唯物主义的教育二、教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念教学难点：函数单调性的判定和证明 三、教学方法：引导发现式与讲授式相结合四、教学过程设计(一)引入新课俗话说得好，处处留心皆学问，苹果落地，牛顿从中发现了万有引力，天花板上攀爬的蜘蛛，让迪卡尔创建了解析几何。同学们我们来共同欣赏一幅风
2、景画，看到连绵起伏的高山，会给我们一种雄伟壮观、波澜壮阔的感受。看这座山的轮廓线是一条蜿蜒起伏的曲线，那么曲线的这种上升和下降的趋势，生活中有很多这样的曲线，怎样用数学语言来刻画描述呢？就是我们今天所要研究的内容-函数的单调性(二)讲授新课 1、增函数、减函数的概念下面我们从中截取一段上升趋势的曲线，如图O B 。A 。图 1如何刻画描述这种变化趋势？稍停情景设置：一动点在沿着图像上升运动问题提出：大家仔细观察这一动点沿着图像上升运动的过程中，它的横、纵坐标有什么变化给学生1分钟根据学生的回答强调：随着横坐标的增大，纵坐标也增大 为了便于说明，我们在图上任选经过的两点A、B，坐标分别如下（），
3、（）用横纵坐标描述这种变化：当时， 问题：这种关系是否具有普遍性呢？如果我们将这两点改变一下位置行吗？学生回答 于是就有了一种很聪明的方法，即用数学语言定性描述了这一图像上升的趋势。它就可以用来刻画这个上升趋势的函数，具有上升趋势的函数叫做增函数给出增函数的定义如下：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当时都有f(x1) f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数请同学们结合图默念定义，找一位同学读一遍问题：看哪些字词很关键学生回答“某个区间”，“任意”，“都有”，这里的任意二字能不能少？ 请同学们观察这样一个图像： B 。
4、A 。oyx图 2各别点满足当时，并不是所有点满足，很显然不是增函数，所以任意二字不能少，它体现了普遍性，“都有”体现了一致性下面同学们用相同的方法来描述一下这种下降趋势的图像图 3yox该如何刻画描述这种变化趋势？（用横纵坐标）当时，。我们把具有下降趋势的函数叫做减函数。请同学们用类比的方法给出减函数的定义提问学生如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。在这里我们只需将增函数定义中的“”换成“”，将“增”换成“减”。这就是我们今天所要学习的增函数、减函数。函数是增函数还是减函数，是对定义域内的某个区间而言的，一个
5、点两个点不能说明是增函数还是减函数。2、函数的单调性及单调区间如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间，数学语言是科学严谨的，请同学们想这里为什么用“单调”二字它表示始终如一，保持一种趋势（上升或下降）在单调区间上增函数的图象从左至右呈上升的趋势，大值对大值，小值对小值，随的增大而增大。同步变化在单调区间上减函数的图象从左至右呈下降的趋势，大值对小值，小值对大值，随的增大而减小。相异变化通过上面的讲述，大家知道判断函数的单调性就是找函数的增减区间，可根据函数图像观察得到，也可以用定义判断得到。（
6、三）、例题选讲例1 图4所示的是定义在闭区间5，5上的函数f(x)的图象，根据图象说出f(x)的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数？ 解：函数y=f(x)在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，因此-5,-2)，1,3)是函数y=f(x)的单调减区间；在区间-2,1)，3，5上是增函数，因此-2,1)，3，5是函数y=f(x)的单调减区间注意：1.在定义域内不是单调的，单调区间是定义域的一个子集，使局部性质2.区间的端点处若有意义，可闭可开，在整个定义域内要完整例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。分析：我们可以根据函数
7、图像得出是增函数。有图像观察得到是一种常用但较为粗略的方法，是不严谨的，增、减函数的定义是一个重要的概念，同时也提供了一个严谨的证明方法。 如何进行推理证明，请回到定义上来展示增函数定义证明：设是R上的任意两个实数，且，则f(x1)f(x2) = (3x12)(3x22) = 3x13x2=3(x1x2) 由可得， 所以f(x1)f(x2)，即所以f(x) = 3x2在R上是增函数注意：划线部分符合增函数的定义例3：证明函数 在R上是增函数。分析：根据例2的证明方法来做例3 我们共同完成证明：设是R上任意两个值，且，则由得，于是，即所以，函数在R上是增函数根据例2和例3两道例题，总结用定义证明
8、函数单调性的步骤如下：1.在指定区间上取值，且2.作差变形3.判断差的符号4.根据函数单调性的定义下结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数）上述步骤可用“设值-作差-定号-结论”来简单记忆。其中我们发现作差变形势最关键的，要把它变成几个能够判断正负号因式的形式为止，在这里变形的方法是多样的有如下： （1）通分；（2）提取公因式；（3）因式分解；（4）配方；等多种多样。例4 证明函数在是减函数 请同学们在练习纸上写，用投影仪展示两位同学的做法。强调作题步骤，然后请同学们思考两个问题： 问题1 在上是什么函数？(减函数)问题2 能否说函数在定义域上是减函数？ （学生讨论得出）（四）、练习 1、如图，已知函数y = g (x )的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。y=g(x) 2、证明函数在上是减函数（五）、总结 1，增函数、减函数 2、单调性、单调区间 3、确定函数单调性的方法：图像法 定义法（六）、作业 课本60页 习题2.3的1-5题
