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1、电动力学习题解答 电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与向量性，推导下列公式： 2. 设是空间坐标的函数，证明：， ， 证明：3. 设为源点到场点的距离，的方向规定为从源点指向场点。（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： ； ； ； ， 。（2）求 ， ， ， ，及 ，其中、及均为常向量。4. 应用高斯定理证明，应用斯托克斯（Stokes）定理证明5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 ，利用电荷守恒定律证明p的变化率为：6. 若m是常向量，证明除点以外，向量的旋度等于标量的梯度的负值，即，其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。7.
2、有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质球内均匀带静止自由电荷，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律)11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，今在两板接上电动势为E 的电池，求：（1）电容器两极板上的自由电荷面密度和；（2）介质分界面上的
3、自由电荷面密度。(若介质是漏电的，电导率分别为和 当电流达到恒定时，上述两物体的结果如何？)12.证明：（1）当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。（2）当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。14.内外半径分别为a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，板间填充电导率为的非磁性物质。（1）证明在介质中任何一点传
4、导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求随时间的衰减规律。（3）求与轴相距为的地方的能量耗散功率密度。（4）求长度l的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率。第二章 静电场1. 一个半径为R的电介质球，极化强度为，电容率为。（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。2. 在均匀外电场中置入半径为的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差；（2）导体球上带总电荷3. 均匀介质球的中心置一点电荷，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求
5、空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷的电势与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。4. 均匀介质球（电容率为）的中心置一自由电偶极子，球外充满了另一种介质（电容率为），求空间各点的电势和极化电荷分布。5. 空心导体球壳的内外半径为和，球中心置一偶极子球壳上带电，求空间各点的电势和电荷分布。6. 在均匀外电场中置入一带均匀自由电荷的绝缘介质球（电容率为），求空间各点的电势。7. 在一很大的电解槽中充满电导率为的液体，使其中流着均匀的电流Jf0。今在液体中置入一个电导率为的小球，求稳恒时电流分布和面电荷分布，讨论及两种情况的电流分布的特点。8
6、. 半径为的导体球外充满均匀绝缘介质，导体球接地，离球心为a处（a ）置一点电荷，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。9.接地的空心导体球的内外半径为和，在球内离球心为a处(a a），试用电象法求空间电势。12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b， 求空间电势。13. 设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为的液体。取该两平面为xz面和yz面在和两点分别置正负电极并通以电流I，求导电液体中的电势。14. 画出函数的图，说明是一个位于原点的偶极子的电荷密度。15. 证明：（1） ，（若，结果如何？）（2）1
7、6. 一块极化介质的极化矢量为，根据偶极子静电势的公式，极化介质所产生的静电势为，另外根据极化电荷公式及，极化介质所产生的电势又可表为，试证明以上两表达式是等同的。 17. 证明下述结果，并熟悉面电荷和面偶极层两侧电势和电场的变化。（1）在面电荷两侧，电势法向微商有跃变，而电势是连续的。（2）在面偶极层两侧，电势有跃变，而电势的法向微商是连续的。（各带等量正负面电荷密度而靠的很近的两个面，形成面偶极层，而偶极矩密度）18. 一个半径为R0 的球面，在球坐标的半球面上电势为在的半球面上电势为，求空间各点电势。提示：，第三章 静磁场1. 试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两种不同表示式，证
8、明二者之差为无旋场。2. 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。3. 设有无限长的线电流I沿z轴流动，在z0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。4. 设x0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。5. 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知，其中为常量。试求该处的。提示：用，并验证所得结果满足。6. 两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上。每个线圈上载有同方向的电流I。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。提示：用条件7. 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的磁导率为，导体外的磁导率为。8. 假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁场强度为。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。9. 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应强度和诱导磁矩m。(对比P49静电场的例子。)10. 有一个内外半径为和的空心球，位于均匀外磁场内，球的磁导率为，求空腔内的场，讨论时的磁屏蔽作用。11. 设理想铁磁体的磁化规律为，其中是恒定的与无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（为常值）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度和磁化电
