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1、向量空间证明(精选多篇)范文第一篇：向量空间证明向量空间证明解题的根本方法：1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中2)假设问题中没有给出坐标计算单位，可选择适宜的线段设置长度单位;3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;4)求解给定问题证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经历和方法2解：因为x+y+z=0x
2、=-y-zy=y+0*zz=0*y+z(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*zy,z为任意实数那么：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,ca+b+c=0那么i(a+b+c)=ia+ib+ic=acos(180-(c-90)+b0+ccos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点hch=asinbch=bsinaasinb=bsina得到a/sina=b/sinb同理，
3、在abc中，b/sinb=c/sinc步骤3.证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc,作abc的外接圆o.作直径bd交o于d.连接da.因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c.所以c/sinc=c/sind=bd=2r类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!2设向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延长am到d使am=dm，连接bd,cd,那么abcd为平行四边形那么向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c平方(1)向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平
4、方=4d平方(2)(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方c平方=1/2(a+b)-d平方am2=1/2(ab2+ac2)-bm23过a做agdc交ef于p点由三角形中位线定理有：向量ep=frac12;向量bg又adpfgc且agdc向量pf=向量ad=向量gc(平行四边形性质)向量pf=frac12;(向量ad+向量gc)向量ep+向量pf=frac12;(向量bg+向量ad+向量gc)向量ef=frac12;(向量ad+向量bc)efadbc且ef=(ad+bc)得证4先假设两条中线ad,be交与p点连接cp,取ab中点f连接pfpa+pc=2pe=bppb+pc=2pd=a
5、ppa+pb=2pf三式相加2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf3pa+3pb+2pc=2pf6pf+2pc=2pfpc=-2pf所以pc,pf共线，pf就是中线所以abc的三条中线交于一点p连接od,oe,ofoa+ob=2ofoc+ob=2odoc+oc=2oe三式相加oa+ob+oc=od+oe+ofod=op+pdoe=op+peof=op+pfoa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp由第一问结论2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp2pa+2pb+2pc=01/2ap+1/2bp+1/2cp所以oa+ob+oc=3op+pd+pe
6、+pf=3op向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)第二篇：2021年高考数学空间向量证明平行问题4.2直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行或共线的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面?1假设有直线l,点a是直线l上一点，向量a是l的方向向量，在直线l?上取ab?a，那么对于直线l上任意一点p，一定存在实数t，使得ap?tab，这?样，点a和向量a不仅可以确定l的位置，还可详细表示出l上的任意点2空间中平面的位置可以由上两条相
7、交直线确定，假设设这两条直线?交于点o,它们的方向向量分别是a和b，p为平面上任意一点，由平面向量基?本定理可知，存在有序实数对x，y，使得op?xa?yb，这样，点o与方向?向量a、b不仅可以确定平面的位置，还可以详细表示出上的任意点1假设a(1,0,1)，b(1,4,7)在直线l上，那么直线l的一个方向向量为()a(1,2,3)b(1,3,2)c(2,1,3)d(3,2,1)2.从点a(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长ab34，那么b点的坐标为()a(9，7,7)b(18,17，17)c(9,7，7)d(14，19,31)二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的
8、直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量?2、在空间中，给定一个点a和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点a的平面是唯一确定的三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用?u1?u2?v1?v2?uv，l?b分别是直线l1、l2的方向向量，根据以下条件判断l1与l2的位置关系。1.设a、?1a=2，3，1，b=6，9，3；2a=5，0，2，b=0，4，0；3a=2，1，4，b=6，3，3?四、平面法向量的求法假设要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：?1、设出平面的法向量为n?(x,y,z)?
9、2、找出求出平面内的两个不共线的向量的坐标a?(a1,b1,c1),b?(a2,b2,c2)?n?a?0?n?b?03、根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组?4、解方程组，取其中一个解，即得法向量v分别是平面、的法向量，根据以下条件判断、的位置关系：1.设u、?1u=1，1，2，v=3，2，?2；2u=0，3，0，v=0，5，0；3u=2，3，4，v=4，2，1。?2.点a3，0，0，b0，4，0，c0，0，5，求平面abc的一个单位法向量。?3.假设直线l的方向向量是a=1，2，2，平面的法向量是n=1，3，0，试求直线l与平面所成角的余弦值。4假设n(2，3,1)是平面的一个法向量，
10、那么以下向量能作为平面的一个法向量的是()a(0，3,1)b(2,0,1)c(2，3,1)d(2,3，1)5平面上的两个向量a(2,3,1)，b(5,6,4)，那么平面的一个法向量为()a(1，1,1)b(2，1,1)c(2,1,1)d(1,1，1)五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系一用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行1、线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，且a2b2c20，那么lm?_?_.1在正方体abcda1b1c1d1中，p为正方形a1b1c1d1四边上的动点，o为底面正方形ab
11、cd的中心，m，n分别为ab，bc的中点，点q为平面abcd内?一点，线段d1q与op互相平分，那么满足mqmn的实数的值有()a0个c2个b1个d3个2、线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，那么l?_?1?1直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为?1，2，2?，且l，?那么m_.(更多好文章请关注*)2线段ab的两端点的坐标为a(9，3,4)，b(9,2,1)，那么与线段ab平行的坐标平面是()axoybxozcyozdxoy或yoz3如以以下图，在空间图形pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，cdab，a
12、bcbcd90，ab4，cd1，点m在pb上，且pb4pm，pbc30，求证：cm平面pad.4.如图，在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc60，pa平面abcd，paaca，点e在pd上，且peed21.在棱pc上是否存在一点f，使bf平面aec？证明你的结论3、面面平行(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，那么?abc?_?_abc(a2b2c20)_.2221如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m、p、q分别为棱ab、cd、bc的中点，假设平行六面体的各棱长均相等，那么a1md1p；a1mb1q；a1m面dcc1d1；a1m面d
13、1pqb1.以上结论中正确的选项是_(填写正确的序号)2.如以以下图，在正方体abcd?a1b1c1d1中，m、n分别是c1c、b1c1的中点。第三篇：第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直第二节用空间向量证明线线垂直与线面垂直一、空间向量及其数量积1、在空间，既有大小又有方向的量称为空间向量。用ab或a表示，其中向量的大小称为向量的长度或或a。正如平面向量可用坐标(x,y.)表示，空间向量也可用坐标(x,y,z)表示。假设点a坐标为x1，y1，z1,点b坐标为x2，y2，z2那么向量ab=x2-x1，y2-y1，z2-z1即是终点坐标减起点坐标。222在空间，知道向量=x，y，zx?y?z?2、空间向量数量积两个非零向量a、b，在空间任取一点o，作oa=a，ob=b，那么角aob叫向量a与b的夹角，记作a，b规定，假设0a，b?，假设a，b=。空间两个向量a、bcosa，b叫向量a、b的数量积，记作a?bcos，假设?a?假设空间向量ax1，y1，z1，bx2，y2，z2那么a?bx1x2+y1y2+z1z2，cosa，?，称a与b垂直，记作a2?x1x2?y1y2?z1z2x1?y1?z1?x2?y2?z2222222例如图，直三棱柱abc-a1b1c1中，bca=900,d1、e1
