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1、高考数学精品复习资料 2019.5专题升级训练 解答题专项训练(解析几何)1.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得的弦为AB,且以AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.2.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1b0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,=2.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程.5.已知点F1,F2分别为椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,P是椭圆C上的一点,且|F1F2
2、|=2,F1PF2=,F1PF2的面积为.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点,对于任意的kR,是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.6.已知A(-2,0),B(2,0),点C,点D满足|=2,).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A,B为焦点的椭圆于M,N两点,线段MN的中点到y轴的距离为,且直线l与点D的轨迹相切,求该椭圆的方程.7.已知双曲线E:=1(a0,b0)的焦距为4,以原点为圆心,实半轴长为半径的圆和直线x-y+=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2)已知点F为双曲线E的左焦点,试问在x轴上是否存在
3、一定点M,过点M任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点(P在Q点左侧),使为定值?若存在,求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在,请说明理由.#1.解:假设l存在,设其方程为y=x+m,代入x2+y2-2x+4y-4=0,得2x2+2(m+1)x+m2+4m-4=0.再设A(x1,y1),B(x2,y2),于是x1+x2=-(m+1),x1x2=.以AB为直径的圆经过原点,即直线OA与OB互相垂直,也就是kOAkOB=-1,所以=-1,即2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,将x1+x2=-(m+1),x1x2=,代入整理得m2+3m-4=0,解得m=-4或m=1.故所求的直线存在,且有两条
4、,其方程分别为x-y+1=0,x-y-4=0.2.解:(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.来源:数理化网由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(4+1,4-2),又=8x3,所以2(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0,或=2.3.解:(1)由题意,知椭圆的焦点在y轴上,设
5、椭圆方程为=1(ab0),由题意,知a=2,b=c,又a2=b2+c2,则b=,所以椭圆方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,与椭圆方程联立,即消去y则(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)0,由根与系数的关系,知又=2,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),-x1=2x2.=-2.来源:整理,得(9m2-4)k2=8-2m2,又9m2-4=0时不成立,所以k2=0,得m20,所以m的取值范围为.4.解:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知,y10.(1)直线
6、l的方程为y=(x-c),其中c=.联立得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0,解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y2.即=2,得离心率e=.(2)因为|AB|=|y2-y1|,所以,由,得b=a.所以a=,得a=3,b=.椭圆C的方程为=1.5.解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n.在PF1F2中,由余弦定理得22=m2+n2-2mncos,来源:化简得,m2+n2-mn=4.由,得mnsin.化简得mn=.于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=2,由此可得,a=.又半焦距c=1,b2=a2-c2=1.因此,椭圆C的方程为+y2=1.(2)由已知得F
7、2(1,0),直线l的方程为y=k(x-1),由消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.=+y1y2=+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-(x1+x2)+k2=(k2+1)+k2=-.由此可知=-为定值.6.解:(1)设C,D点的坐标分别为C(x0,y0),D(x,y),则=(x0+2,y0),=(4,0),则=(x0+6,y0),故)=.又=(x+2,y),故解得代入|=2,得x2+y2=1,即为所求点D的轨迹方程.(2)易知直线l与x轴不垂直,设直线l的方程为y=k(x+2),设椭圆方程
8、为=1(a24).将代入整理,得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.因为直线l与圆x2+y2=1相切,故=1,解得k2=.故式可整理为(a2-3)x2+a2x-a4+4a2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-.由题意有=2(a24),解得a2=8,经检验,此时0.故所求的椭圆方程为=1.来源:7.解:(1)由题意知=a,a=.又2c=4,c=2,b=1.双曲线E的方程为-y2=1.(2)当直线为y=0时,则P(-,0),Q(,0),F(-2,0),=(-+2,0)(+2,0)=1.来源:当直线不为y=0时,可设l:x=ty+m(t)代入E:-y2=1,整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t).(*)由0得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1,y2,满足y1+y2=-,y1y2=,=(ty1+m+2,y1)(ty2+m+2,y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=.当且,仅当2m2+12m+15=3时,为定值,解得m1=-3-,m2=-3+(舍去).综上,过定点M(-3-,0)任意作一条直线交双曲线E于P,Q两点,使=1.
