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1、正方体截面问题正方体截面问题课题:正方体截面问题班级:高二(2)班小组:数学兴趣小组指导老师:王长喜组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇组长:张皓楠课题目的:研究正方体可能的截面形状，经过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观点与全面考虑问题的能力。研究方法:第一经过猜想，列举出估计猜想到的截面，其次进行绘图和实践等方法证明猜想得正确与否。再经过网络的资料查问，找寻未猜想到的状况。大题小做: 什么叫几何板的截面,问题1答 :一个几何和一个平面订交所获得的平面图形(包括它的内部)，叫做几何体的截面。问题2:截面的边是怎样获得的,答 :截面的边是平面和几何体各面的交线。
2、问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种特别对称的几何体。假如我们拿一个平面去截一个正方体那么会获得什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边,答 :由于正方形只有六个面，因此它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。因此截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。研究1:截面图为三角形时，有几种状况,1.能否能够截出等腰三角形:(1)分析:AaCcBbA如上图，一正方体被一平面所截后获得截面abc若截面三角形abc是认为bc底的等腰三角形，那么只需三角形Aba全等于三角形Aca就能够截到。因此，截到等腰三角形的状况存在。(2)做法:在一棱AA上取a在棱AB.AC上取Ab.等于
3、Ac.便可获得以bc为底的等腰三角abc。(3)证明:由于角bAa等于角cAa，Aa边公用，Ab等于Ac，因此三角形全等于三角形。因此三角形abc是认为bc因此ba等于ca,底的等腰三角形。2.能否能够截出等边三角形:(1)分析AaCcbBA一正方体被一平面截后获得三角形abc，若三角形abc是等边三角形，只需三角形aAb,aAc,bAc两两全等就能够获得。因此，截到等边三角形的状况存在。(2)做法:在棱AA,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac就能够获得三角形abc为等边三角形。(3)证明:由于Aa等于Ab等于Ac，角 bAa等于角cAa,因此，三角形bAa全等于三角形cAa。因此ab等于
4、ac。同理可证ba等于bc,ca等于cb。因此三角形是等边三角形。3. 能否能够截出直角三角形:AaCcBbA分析:若一正方体被一平面截后角acb是直角，那么就有:ac2+cb2=ab2.由于角adb是直角，因此ab2=db2+ad2;由于角adc是直角，因此ac2=ad2+cd2;由于角bdc是直角，因此bc2=db2+cd2.因此ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.化简后得2cd2=0.因此，这截得是一般三角形，不是直角三角形。小结:用以平面去截正方体只能截到三边形:(1)等腰三角形，(2) 等边三角形，(3) 一般三角形;(4) 不可以截出直角三角形。研究2:假如，截面为四边
5、形，那么，能够截出哪几类呢?1.能否能够截出长方形 :剖析:过一正方体的一棱有无数个矩形，只需长宽不等，就是长方形。因此，存在这一状况。a bcd做法:如上图;取正方体一棱，过棱沿一个不与原表面重合的平面截下，就能够获得一个矩形。证明:设原棱长为a，由于过棱沿一不与原表面重合的平面截下，因此bd大于ab，由于过一正方体的一棱有无数个矩形，而截面不是正方形，因此截面是矩形。2. 能否能够截出正方形:剖析:正方体六个表面都是正方形只需用一垂直于原表面的平面去截正方体，就能够获得正方形。做法:用一垂直于原表面的平面去截正方体，就能够获得正方形。证明:由于垂直于原表面的在正方体的截图都是正方形，因此截
6、到得垂直于原表面的平面就是正方形。3. 能否能够截出梯形:剖析:用一平面从一上正方体表面斜截下去交与底面，由于上下两底面平行，斜截下去截距不等，因此可截到梯形。CABFDE做法:用一平面从一上正方体表面斜截下去交与底面便可截到梯形。证明:平面ABC平行于DEF,因此AC平行于DE;斜截下去截距不等，因此AC不等于DE;因此DECA是梯形。小结:用以平面去截正方体只好截到四边形:(1.)长方形;(2.)正方形;(3.)梯形。研究3:截面多边形的边数最多有几条,分析:由于正方形只有六个面，因此它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。因此截图可能是三角形，四边形，五边形,六边形。研究4
7、:截面可能是正多边形吗,可能有几种,答:截面是正多边形有可能。可能有正三角形，正方形，正五边形，和正六边形。(以下列图)研究5:假如截面可能是三角形，其面积最大是什么?以下列图:分析:截面为三角形，面积是底乘高。底和高最大是连结正方体的三个极点，因此这时三角形面积最大。总结;A.用以平面去截正方体只好截到三边形:(1)等腰三角形，(2) 三角形，(3) 一般三角形;(4) 不可以截出直角三角形。B.用以平面去截正方体只好截到四边形:(1.)长方形 ;(2.)正方形;(3.)梯形。C.用以平面去截正方体还可以截到五边形,六边形。课后反省:1: 截图有可能是等腰梯形吗,2: 截到五边形,六边形有哪几类,3:从这个课题还可以够延长到什么,研究启迪:创新所带给人的精神欢乐是任何物质享受和感官享福所没法比较的，那是绚烂的生命之花最深邃、最辉煌、最恣意的绽开，从某种意义上说，创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人道主义的事业，理所自然应当关注个人生的提高。
