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1、例子:张先生做基金定投十年，每月投入资金一千元（基金设为红利再投资），十年累计投 资12万元。十年后赎回，实际市值为24万元。请问张先生投资的平均年收益率是多少？这个问题貌似简单。不过我估计几乎没有人能对这个问题或类似的问题简单通过“心 算”得到答案，因为这里面包含“每个月”的投资和“每个月”投资的“复利效应”。仔细思考后 您就会发现，它其实是一个非常复杂的函数。如果是简单总收益率，谁都知道答案是100% （24/12-1）*100% = 100%）。因为有“复利效应”，每年平均收益率，当然不是简单的100%除以10年，得到10% 的年平均收益。那么是不是这么计算？因为一共投资了十年，也就是说
2、第一笔钱投资了 120个月， 第二笔钱投资了 119个月最后一笔钱投资了 0个月。所以平均下来，相当于所有的钱投资了 60个月（五年）。所以年平均收益率是100%除以5年，结果是每年20%。这个计算方法也是错误的。为什么呢？因为市场的“复利效应”是指数增长，而且是“每月”都应该计算利润；上 述计算方法只是“算术平均”，当然得不到正确的结果。看一下就知道，每个月的投资在下个 月都产生“复利”，在这种算法中并没有被包括进去。正确的计算方法是这样的：假设定期投资中的“月平均收益率”是x；那么年平均收益率是（1+x）人12-1；也就是 一年12个月，每月产生复利（共产生12次）后，扣除成本。因为定投中
3、是“每月”进行投资的，所以最精确的算法要精确到“月平均收益率”，然 后通过“月平均收益率”换算得到“年平均收益率”。取张先生每月投资的金额为“a”（其实可以是任意单位），那么张先生：最后一个月投资的钱在赎回时市值是：a倒数第二个月投资的钱在赎回时市值是：a*（1+x） 倒数第三个月投资的钱在赎回时市值是：a*（1+x）人2 （经过两个月的“复利效应”） 倒数第四个月投资的钱在赎回时市值是：a* （1+x）人3 （经过三个月的“复利效应”）依此类推倒数第n个月的钱在赎回时市值是：a* （1+x）A（n-1）在赎回时，张先生得到的总金额是以上所有月份投资的钱，在赎回时的市值的总和：a*(l+(l+
4、x)+(l+x)人2 + . + (1+x)人(n-1)。以上其实不仅仅局限于上述问题中“投资十年”情形；n可以是任意自然数。 我们将上述市值总和记为“A”，也就是：A = a*(1+(1+x)+(1+x)A2 + . + (1+x)A(n-1)学过“等比级数”的人知道(高中数学知识)，上述右侧其实是一个“等比级数”。这里分 两种情形讨论：(1) 如果 A = a*n；这种情况下就是投资的收益为零，自然收益率也为零；因为非常 简单，就不详细说了。(之所以仍然要提到这种情况，是从理论“解方程”的角度出发，是必 须要考虑这种情形的，否则程序会出错。)(2) 如果收益率不为零的情况下，不管是正收益还
5、是负收益：对上述“等比级数”“求和”，其结果是：A = a*(1+x)An-1)/(1+x)-1);也就是：A = a*(1+x)An-1)/x;也就是：(1+x)An - (A/a)x - 1 = 0解上述“一元n次方程”，得到的解(x的值)，就是“月平均收益率”，然后通过“月平 均收益率”用“(1+x)人12-1”，可以换算得到“年平均收益率”。需要说明的是，上述一元n次方程”并不是“手到擒来”可以解的；比方说投资十年， n的值是120，对一个“一元120次方程”，想得到一个简单的解析答案，即使是最好的数学 家也没有多少办法。感谢现在的计算机技术和编写程序手段，使得我们对上述方程能很方便得到一个数 值解。对于举例中的张先生的情形，解得的结果是，张先生这十年定投里，获得的“月平均 收益率”是1.06%，对应的“年平均收益率”是13.48%。如果是简单将10年定投折算成“所有的钱平均投资5年”，仍考虑复利，得到的“年 平均收益率”是:2人(1/5)-1 = 14.87%。这个结果虽然略有高估，但与正确答案已经相去不远 了。
