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1、15.4 角的平分线武明珠 马鞍山二中实验学校教学内容本节课主要学习角的平分线定理,理解这个定理可以用来简化证明过程,领会它是证明线段相等的又一个工具。教学目标1、知识与技能探索角平分线的性质定理和它的逆定理,掌握它们的作图方法。2、过程与方法经历探索角平分线定理和逆定理的过程,体会这两个定理的作用,发展几何空间意识。3、情感、态度与价值观培养良好的逻辑思维能力,感悟逻辑推理在现实生活中的应用价值。重、难点与关键1、重点:掌握角平分线的性质定理和逆定理。2、难点:运用角平分线定理简化证明线段相等的问题。3、关键:把握全等三角形这个工具,推导出角平线定理,可以通过实物操作让学生有一个感情认识,再
2、用全等严格证明。教学过程一、创设情境,操作感知1、教师演示:教师拿出如图16.4-1的平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC,将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画出一条射线AE,教师指出:“AE是否平分12BDAA,E呢?你能说一说吗?”34C学生活动:观察教师的教具演示,发现这个教具中,AD=AB,DC、BC,那么只要AE通过点C,则就构成两个三角形:ADC和ABC,又因为AC是公共边,很容易证出ADCABC(SSS);再运用全等三角形性质推出1=2,3=4,即AE就是平分线。2、折纸验证课堂活动:让同学们拿出半透明的纸,在上面任画一个角, 请你用拆叠的方法,找出角的平
3、分线。B学生活动:按上面要求,画课本图16-21如下:DDBCAC(B)ACA课本图16-21C在操作中,发现:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是它的对称轴。教师引导:请同学们再用量角器量一量,看看不起个结论对吗?学生活动:拿出量角器,验证出上述结论是正确的,加深认识。设计意图:上述设计,目的是让学生从感性认识提升到理性认识。二、尺规作图,导入新知课堂活动:教师在黑板上演示怎样做一个已知角的平分线,要求学生与教师同步操作,在完成课本图16-22的图形后,提出思考问题。BCA问题思索:D1、为什么所做的OP,就是AOB的平P分线呢?O2、如课本图16-24,OP是AOB的平分课本图16-24线
4、,P是OP上的任一点,过点P分别作PCOA,PDOB,C、D是垂足,根据你学过的知识,图只你们得到哪些结论?写出这个问题的已知,求证,并给出证明。学生活动:讨论、分析,写出已知、求证,并证明如下。已知:如课本图16-24所示,OP平分BOA,PDOB,垂足为D,PCOA,垂足为C。求证:PD=PC教师归纳:上面的思考,主要是让大家能和严谨的推理解决前面通感知得到的结论。师生共识:角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。设计意图:让学生从感性上的认识上升到严格的理性上来。三、情境合一,优化思维1、情境思考。T公路如图16.4-2所示,要在T区建一个超市,使它到公路、铁路的距离相等,离公路与铁路
5、交叉处500米,这个超市应建在什么地方呢:(在图上标出它的位置,比例尺为1:2000)。引导学生分析、解决问题,这里要特别强调;公路写已知、求证这两个环节要正确,否则证明将图16.4-2没有意义。已知:如图16.4-3所示,PDOA,PEOB,垂足为D、E,PD=PE。求证:PD=PE。A求证:点P在AOB的平分线上。D证明:经过点P作射线OC。PPDOA,PEOB,AOC=PEO=900。图16.4-3EBO在RtRtPDO和RtPEO中,OP=OPOP=PERtRtPDO和RtPEO(HL)AOC=BOCOC是AOC的平分线。教师活动:请部分学生上讲台“板演“,然后引导学生去发现新的结论。
6、2、师生共识。由刚才的例子可以得到一个结论:角平分线的逆命题仍然是正确的。定理归纳:在一个角内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。教学形:对比数学,依据互逆性弄清两个定理的条件、结论、加深理解。四、范例学习,应用所学例、(见课本P136例题)思路分析:因为已知,求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们,所以“过点P分别作PMBC,PNAC、PQAB,垂足分别为M、N、Q”,这一段话要在证明中写明,同辅助线一样处理,如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写。学生活动:参与教师分析,明确证明思路是应用角平分线逆定一进行证明。证明
7、:过点P分别作PMBC,PNAC、PQAB,垂足分别为M、N、Q。BE是B的平分线,点P在BE上。PQ=PM同理可证:PN=PMPN= PQAP平分BAC教师提问:从这个范例中,你能发现什么结构呢?学生活动:思考后回答,三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等。五、随堂练习,巩固新知1、课本P135练习第1,2题2、课本P135P136练习1,2题。六、课堂总结,提高认识教师引导下,学生自主总结,主要问题有:1、什么叫角平分线?2、什么叫做角平分线?3、这两个定理之间有何区别?4、你还能得到哪些结论?七、布置作业,专题突破1、课本P137习题16.4第1,2,3,4题。2、选用课时作业优化设计。八、课后反思: