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1、等比数列及其前n项和教学目标:1熟练掌握等比数列定义;通项公式;中项;前n项和;性质。2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量,证明数列是等比数列,解决与等比数列有关的简 单问题。知识回顾:1定义:般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。用递推公式表示为. q(n 2)或q。注意:等比数列的公比和首项都不为零。(证明数列是Sn 13n等比数列的关键)2 通项公式:等比数列的通项为:an aqE。推广:an amq nm3 中项:如果a,G,b成等比数列,那么 G叫做a与b的等比中项;其中G2
2、ab o4等比数列的前n项和公式na(q 1)Sn ai(1 qn)-(q1)1 q5等比数列项的性质(1)在等比数列an中,若m,n,p,qN且mnpq,则ama. aPaq ;特别的,若m,p,q N且2m p q,贝lj am2 aPaq。2 在等比数列an中,若 一 a2= 6, a5- a15,则 a3=(2)除特殊情况外,Sn, S2nSn, S3n S?.,也成等比数列。q(其中特殊情况是当q=1且n为偶数时候此时&=0,但是当n为奇数是是成立的)4、证明等比数列的方法证也q (常数);2)证:ananiani( n 2)考点分析考点一:等比数列基本量计算例、已知an为等比数列,
3、S是它的前n项和。若a2a32a,且a。与2a?的等差中项为 2345 ,求 S540例2、成等差数列的三项正数的和等于15,且这三个数加上2、5、13后成等比数列bn中的的b4,b5O(1)求数列bn的通项公式;(2)求数列bn的前n和为Sn练习:1、设an是有正数组成的等比数列,Sn为其前n项和。已知a?a41, S37厕S5A.15231331723已知正项数列协为等比数列,且5a2是a“与3a3的等差中项,若a?=2,则该数列的前5项噌口叫)以上都不正确4、设an是首项为a,公差为一的等差数列,s为其前n项和若S, S2, S成等比数 歹卜贝U ai的值为.5、( 4)、已知an是首项
4、为1的等比数列,Sn是an的前n项和,且9s3Se,则数列的前5项和为()3nAl 或 5 B方或 5 C 31 D 15816168考点二:等比数列性质应用例2、设Sn为等比数列an的前n项和,已知3s3a42,3s2 a3 2,则公比qA. 3 B . 4C , 5 D , 6练习, 1、在等比数列an中,a2ow8a2oo7,则公比q的值为A. 2 B , 3例3、等比数列an满足:ae 11,a3a4 ,且公比q q1(1)数列an的通项公式;若该数列的前n项和Sn 21,求n的值练习:1、已知正项等比数列an满足a3a9邓,史 2,贝U2、已知等比数列an满足asag 2a2,a?2
5、,则3、已知等比数列an满足ai 2,as 18,则a2a3a4 。4、在等比数列an中,各项均为正值,且363w+ &3&5二41 , 3438=5,贝u34+ 38=例4、等比数列3n满足3n0 , n N,且33?374,则当n 1时,log 2 561 log 2 32 g 2 33 m 2 39 , S31例5、等比数列3J的首项31ZZ-1,前n项和为s,若云=32则公比q=.练习:1、已知正项等比数列3n满足36233 5 , 373839 10,则343536 。2、在等比数列 3n中,若 31323334= 1 , 3n314315316= 8,贝 u34i342843844
6、=.例&设等比数列&的前n项和为Sn,若S6:S3=1 :2/tjs): s3=.练习:1、设等比数列a的前门项和为Sn,若鱼3,则S = . s3s6考点三:等比数列的证明例7、( 2017成都市高三一诊)已知数列3n满足8 2,3n 1 2an 4 0(1)证明数列3n 4是等比数列。(2)求数列3n的前n项和Sn。练习:1、已知数列3n满足313, 3n1 2an n1 数歹lj bn满足bn 3n n。证明数列bn为等比数列。2、已知数列3n满足3n3n23n,数歹J b满足bn lg(3n 1 )。证明数列g为等比数3、在数列an中,a,耳勺,n 口不用N求证:数列电譬比数列 241
7、111例8、已知f x (x心gx 4(x J,数列an满足:W2, an 1且(aani)g(an) f (an)(n N-)。证明:数列a.1是等比数列。2x1练习 1、已知函数 f(x),数歹an满足 ai t(t 2,t R) amf (an)(n N)x2(1)若数列an是常数列,求t ;a 1(2)当ai 2时,记bn巴一(n N ),证明:数歹Ij bn是等比数列,并求出数列an 1热的通项公式。例9、已知数列前的前n项和为S,且an+ n.设Cn=an- 1,求证:Cn是等比数列;求数列an)的通项公式.练习:1、设数列an)的前n项和为S,已知a 1,s=4a0+ 2.设bn
8、=an+l- 2an,证明:数列bn是等比数列;求数列an)的通项公式.例10、已知数列an2Snan 1Ak no f=i 【.【.小七3n小结与拓展:(1 )定义法:am q( n N,q是常数)an是等比数列;3n(2)中项法:am2anan2( n N ) an是:等差数列。考点四:等差、等比数列的综合应用例1 1、在等差数列an中5 310 30,820 50(1)求数列an的通项公式;令bn 2an 1 0,证明:数列bn为等比数列;练习:一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果 再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原
9、来的等比数列。例12、某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股 东们分红500万元.该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金;求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.习题1、在等比数列an中,(1 ) a4 27,q3,求 ay;(2) a5al15,a4a?6,求 a3;(3)已知a3 43%求与4。222、已知胡为等比数列,a32,a2a-,求务的通项式。33、已知等比数列an满足a3an 4a7,数列bn是等差数列满足a7b7则54、设等比数列热的公比q 2, 前n项和为& 则S4 ()32
10、A.2 B , 4 C1517225、设Sn为等比数列a. ,n的前n项和,已知3s3必2 , 3s2a32,则公比qA. 3 B . 46、设Sn为等比数列an的前n项和,8a? asA.-11 B . 8C . 5 D . 11 7、设正项等比数列an的前n项和为Sn,已知a3 4 , a4a5a2 212(1)数列an的通项公式;(2)若该数列的前n项和SnN。1,求n的值。&设Sn为数列an的前n项和,Snkrf8 n,n N*,其中k是常数求3及3n ;(2)若对于任意的m N,,am,a?m,a4m成等比数列,求k的值N.9、在数歹an中,a 2,an+i = 4an 3n+ 1,n 证明数列an n是等比数列;求数列an的前n项和S.21)10、(选做题)已知数列an,bn满足:ai7an n 4,5( 1)n (an3n8其中为实数,n为正正数。(1)对任意的实数,证明数列输不是等比数列;(2)试判断数列bn是否是等比数列,并证明你的结论