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1、函数奥赛竞赛练习一、选择题1（2000年北京市中学生数学竞赛）已知函数y=f(x)有反函数，现将y=f(2x-1)的图象向左平移2个单位，所得图形表示的函数的反函数是（ ）ABCD二、填空题2（2001年全国高中数学联赛）函数的值域为_。3（2001年全国高中数学联赛）不等式的解集为_。4（2001年北京市中学生数学竞赛）函数f(x)对于任意非负实数x、y都满足，且f(x)0，f(1)0，则=_。三、解答题5（2000年北京市中学生数学竞赛）f(x)是定义在R上的函数，对任意的xR，都有f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，（1）求证g(x)是周期函
2、数；（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。6（2000年全国高中数学联赛）若函数在区间a，b上的最小值为2a，最大值为2b，求区间a，b。7（第一届“希望杯”全国邀请赛试题）求函数在区间-1，1上的值域。8（第九届“希望杯”全国邀请赛试题）若实数x满足不等式。试求函数的最大值。9（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）作函数的图象。10（2000年莫斯科师范大学数学奥林匹克竞赛）函数是偶函数还是奇函数？11（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2001年3月19日报道：中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”
3、，这个：“套餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法。具体方案如下：方案代号基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）1304806029817006031683300504268600045538810000406568170003577882588030原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：（1）“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；（3）
4、据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由。参考答案1A 由于“抽象”没有具体的函数表达式，使题目显得有些难，化难为易的方法因而也就是化抽象为具体，不妨设f(x)=x+1（这样符合原题“f(x)有反函数”的规定）。于是以下种种全具体化了。反函数是，向左平移2个单位所得图形表示的函数。这个函数的反函数，再与4个选择来对照。A项是符合，B项是不合，C项是不合，D项是不合。故选A。2两边平方得，从而且。由或y2。任取y2，由，易知x2，于是。任取，同样由，易知x1。于是。因此，所求函数的值域为。3等价于
5、或。即或。此时，或或。解为x4或0x1或。即解集为。4这题f(x)不容易具体化，但是它的值则是可以具体化的。例如设x=0，y=0。则由，得，f(0)=0。再设x=0，y=1。得，以f（0）=0代入，已知f(1) 0，。设x=1，y=1，得，即。设x=2，y=1，得，。设x=0，得，。设x=0，得，即，。至此可求，。5解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3) f(x)+3和f(x+2) f(x)+2代换，可得，由可得g(x+4) f(x+2)-
6、x-2f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6) f(x+2)-x-2f(x)-x。由可得g(x+6) f(x+3)-x-3f(x)-x，由、知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期）（2）2000-998=1002是6的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=f(998)-998f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。6解f(x
7、)的最大值只能是，或f(a)，或f(b)，f(x)的最小值只能是f(a)或f(b)其中之一，令，且，即可得关于a、b的方程组，解出a、b的值。当a值由负值增大到正值时，区间a，b在x轴上自左向右移动，因此在求f(x)的最值时，须按区间a，b的位置分类求解。f(x)图象顶点坐标为，。（1）当ab0时，由f(x)在a，b上单调递增得，f(a)=2a，且f(b)=2b即于是a、b是二次方程的两个负根，但此方程两根异号，故区间a，b不存在（2）当a0a0时由f(x)在a，b上单调递减得，f(a)=2b，且f(b)=2a，即解得或（舍去）即得区间1，3。综上所述，所求区间为1，3或7解：。值域为。8解：
8、。9解：研究2种情况。，即x1。于是。，即x600时，解不等式50+0.4t268+0.45(t-600)，得600t1040(tN)，综上，545t1040时（tN），第4种收费方式比原收费方式的月通话费省钱。（3）因为按照原来的收费方式，320分钟收费178元（即50+0.4320），所以，不会选择月租费多于178元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式。第一种方式的话费为：30+0.6（320-48）=193.2（元）；第二种方式的话费为：98+0.6（320-170）=188（元）；第三种方式的话费为：168元。故选择第三种方式。事实上，相对于原收费方式，当通话时间大于244分钟时，第一种方式不合算，当通话时间只有在120分钟至270分钟时，第二种方式较合算。
