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1、1、设双曲线=1( a 0, b 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|2 = | ( O为坐标原点)；(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), | =|+| =. 设 = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,点P在双曲线
2、上，b2 a2k2 0 . 无论P点在什么位置，总有|2 = | . （2）由条件得：= 4ab, 即k2 = 0 , 4b a, 得e 2、已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C：(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线上（）求抛物线C的方程；（）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若(O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程解：（）由题意可得直线l： 过原点垂直于l的直线方程为 解得 抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，抛物线C的方程为 （）设，由，得又，解得 直线ON：，即 由、及得，点N的轨
3、迹方程为 3、已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线的距离为l. （1）求双曲线的方程； （2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.（1）解：依题意有：可得双曲线方程为 （2）解：设所以 4、已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程解：（I）由题可设，其中.则 1分的面积为定值2，. 2分，消去，得： 4分由于，所以点的轨迹方程为（x0）5分（II）依题意，
4、直线的斜率存在，设直线的方程为由消去得：， 6分设点、的横坐标分别是、，由得 8分解之得：. 9分由消去得：，由消去得：，. 10分由于为的三等分点，. 11分解之得. 5、设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。 （）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标； （）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程； （）过点F（1，0）作直线l与（）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（）中的点）的取值范围。解：（）由题，得，设则由 又在双曲线上，则 联立、，解得 由题意， 点T的坐标为（2，0） 3分（）设直线A1P与直线A
5、2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得 1分由A2、Q、M三点共线，得 1分联立、，解得 1分在双曲线上，轨迹E的方程为 1分（）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为 中，得 设 则由根与系数的关系，得 2分 有将式平方除以式，得 1分由 1分又故令 ，即 而 ， 6、已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。（1）求双曲线C的标准方程（2）当直线l的斜率为何值时，。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与双曲线的位置关系。解（1）设
6、双曲线C的方程为又P（6,6）在双曲线C上，由、解得所以双曲线C的方程为。（2）由双曲线C的方程可得所以A1PA2的重点G（2,2）设直线l的方程为代入C的方程，整理得整理得解得由，可得解得由、，得7、已知，点满足，记点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.解：（）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为（3分）（）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，
7、 解得 （5分）（i） （7分） 假设存在实数，使得， 故得对任意的恒成立， ，解得 当时，. 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立， 综上，存在，使得. （8分） （ii），直线是双曲线的右准线，（9分） 由双曲线定义得：， 方法一： （10分） ，（11分） 注意到直线的斜率不存在时，综上， （12分）8、已知双曲线的离心率e2，且、分别是双曲线虚轴的上、下端点 （）若双曲线过点（，），求双曲线的方程；（）在（）的条件下，若、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程 解：（）双曲线方程为 ，双曲线方程为 ，又曲线C过点Q（2，），双曲线方程为 5分（），M、B2、N三点共线 , （1）当
8、直线垂直x轴时，不合题意 （2）当直线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，3），可设直线的方程为，直线的方程为 由，知 代入双曲线方程得，得，解得 , ，故直线的方程为 40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为且过点(4，-) （1）求双曲线方程； （2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）求F1MF2的面积.解：（1） 离心率e=设所求双曲线方程为x2-y2=(0)则由点(4，-)在双曲线上知=42-(-)2=6双曲线方程为x2-y2=6（2）若点M(3,m)在双曲线上 则32-m2=6 m2=3
9、 由双曲线x2-y2=6知F1(2,0),F2(-2,0) ,故点M在以F1F2为直径的双曲线上.（3）=2C|M|=C|M|=2=69、已知平面上一定点C（4，0）和一定直线为该平面上一动点，作，垂足为Q，且. （1）问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程； （2）设直线与（1）中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：（1）设P的坐标为，由得（2分） （4分）化简得 P点在双曲线上，其方程为（6分） （2）设A、B点的坐标分别为、，由 得（7分），（8分）AB与双曲线交于两点，0，即解得（9分）若以
10、AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即，（10分）解得，故满足题意的k值存在，且k值为.10、过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点. （1）求证：为定值； （2）若，求动点的轨迹方程.解：（1）设直线AB：由得.3分.7分（2），所以四边形BOAM是平行四边形.9分由及.13分14分11、双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上， （1）求双曲线的离心率e； （2）若此双曲线过C（2，），求双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，的方程。解：（1）四边形F2ABO是平行四边形四边 形F2ABO是菱形.由双曲线定义得（2），双曲线方程为把点C代入有双曲线方程（3）D1（0，3），D2（0，3），设l的方程为则由因l与与双曲线有两个交点，故所求直线l方程为
