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1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置
2、报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张 博 2. 郭 鑫 3. 张子阳 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 彭 勇 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：目 录一、问题重述3二、问题分析3三、基本假设4四、参数说明4五、模型构建与求解55.1 问题
3、一模型构建与求解55.1.1 椭圆油罐平放油位与油量的关系55.1.2 椭圆油罐体发生右侧纵向倾斜时65.1.3 椭圆油罐体发生左侧纵向倾斜时85.1.4 误差分析85.2 问题二模型构建与求解115.2.1 只考虑角存在时115.2.2 只考虑角存在时145.2.3 综合考虑、存在时155.2.4 建立粒子群优化算法模型求、165.2.5 编程求解、并进行数据分析175.2.6 罐容标定值表20六、模型的优缺点分析21七、模型的进一步讨论21八、参考文献21九、附录22附录一：表格22附录二：程序35 储油罐罐容表的标定摘要：本文利用积分的方法建立模型，找出储油罐内油量与油浮子示数、倾斜角、
4、之间的关系，用粒子群算法寻优、，并通过对数据的验证和计算，对模型进行了修正和推广，得到了普遍适用的油量与油位、倾斜角之间关系的模型。在问题一中，在未倾斜时，建立积分模型，计算出的结果与问题给出的数据比较，相对误差均为3.37%（见附表一，第22页），为了对模型修正，减小这一误差，引入。在油罐发生倾斜时，利用修正后的模型求出的结果与问题给出的资料数据比较，产生了一个二次抛物线形误差，由此，对模型进一步修正，得到最终修订函数（见第9页），代入数据后，通过进油量算出的误差几乎为零（见附表二，第24页）。在问题二中，延续问题一中建立积分模型的思想，并增加球冠体内油的体积。获得一般表达式（见第14页），
5、建立粒子群算法模型优化寻找、（见第16页），利用附件资料中的数据，求出、最终的结果：，。依据得到的、进行函数修正。修正函数后作出以10cm为长度对应的罐容表（见第20页）。再利用附件资料中出油量数据进行验证分析，发现误差很小，模型是正确、可靠的。关键词：积分模型、粒子群优化算法、罐容表一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐
6、体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。问题中所给出的图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。问题中所给出的图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，问题中所给出的图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。运用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，根据问题中所给出的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体）在无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做的实验数据，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标
7、定值。（2）对于问题中所给出的图1所示的实际储油罐，建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（资料附件2），确定所建立的数学模型的变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用资料附件2中的实际检测数据来分析检验所建立的模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析本问题是一个在实际生活中普遍存在的问题。由于油罐的长度长、储油量大，加之基础设施等因素，会使油罐在使用过程中产生一定程度的倾斜，而很小的倾斜会造成一定的误差，对油罐内油的计量产生影响。对于
8、问题一，当油罐体没有发生倾斜时，罐内液面为长为，宽为矩形，利用积分的方法可以很容易求算出油罐内油的体积（见附录程序1，第35页）。将坐标系与油罐固定，当油罐发生倾斜了之后，坐标系随之倾斜。此时，油罐内液体可以分为两部分来求解，下部分可以看做和水平放置一样的情况，上部看做一个长和宽随高度变化的矩形，用同样的积分方法即可求出上部分的体积，与第一部分的体积相加就得到油罐内液体的体积（见第7页）。再利用Matlab进行编程（见附录程序3，第35页），代入数据即可求出相应高度的油的体积。对于问题二，横向的偏转角只是对油罐内液体高度产生影响，测得的高度为，根据几何关系可以得到实际的液面高度（见第15页）。
9、而角对油罐内液体产生的影响与问题一中相似，圆柱部分的液体的体积可以按照问题一中的求解方法即可求出（见第11页）。对于多出的球冠体，利用几何关系可以求出球冠体内油面的面积，再对面积进行积分，即可求出球冠体内油的体积（见第12页）。再将球冠体和圆柱体内油的体积相加，即得到了油罐内油的总体积。同样，利用Matlab进行编程（见附录程序4，第35页），根据附件二中前三百个数据中抽取十个数，代入进行求算，可以得到一个数组，是一个2行列的、的可取数据。再利用粒子群优化算法，在可能进行组合的数据中寻找出使一组最佳的数据。改变高度为题中给定数值，利用程序（见附录程序6，第37页）即可求出油罐中罐容表的标定值。
10、三、基本假设1、 假设油罐完好，无凹凸，各部分尺寸绝对符合参数要求。2、 不计油罐钢板厚度，认为题中给出尺寸为盛油时的实际尺寸。3、 不计油浮子、出油管、进油管对油位的影响。4、 对油位测定时不考虑温度的影响。5、 油罐内装入的油不会对油罐的形状产生影响。6、 假设油罐的倾斜角度不会太大。7、 进出油量的计量和油表的读数是精确的。四、参数说明：测得油位高度，即油浮子的示数：油的体积：椭圆油罐的长半轴长：椭圆油罐的短半轴长：椭圆油罐的长度：油罐纵向倾斜的角度：积分界限：积分界限：油浮子到罐体近端的长度：椭圆形油罐下部分油的体积：椭圆形油罐上部分油的体积：面积元素：倾斜时，液面的长度：修正系数：圆
11、形球冠体油罐中间的圆柱部分的体积：圆形球冠体油罐中间圆柱体左侧的球冠体部分的体积：圆形球冠体油罐中间圆柱体右侧的球冠体部分的体积：圆形球冠体油罐中间圆柱部分的半径：圆形球冠体油罐两端球缺体的半径：圆形球冠体油罐左侧球缺体的球心坐标：左侧切面油面弦所对应的圆心角：油罐内实际液体高度：水平倾斜角度：2行列表示、的数组：油罐内油面高度的变化值：修正常数五、模型构建与求解5.1 问题一模型构建与求解5.1.1 椭圆油罐平放油位与油量的关系（1） 建立坐标系，利用微分思想，建立数学解析模型以左侧椭圆中心为原点，水平方向为X轴，竖直方向为Y轴，垂直于左侧平面指向右侧为Z轴建立坐标系。xyzLyHSy图一
12、油罐平放时的两面投影利用微元法，将油罐内的液体体积看成由一个一个高度极小的矩形平面面积的和。这样，知道了面积元素，就可以用积分的方法求出油罐内油的体积。体积元素：面积元素：椭圆的方程为：体积为：其中，为测得油位高度，即油浮子的示数；为油的体积；为椭圆油罐的长半轴长；为椭圆油罐的短半轴长；为椭圆油罐的长度；为面积元素。（2）对模型的求解这样，求得了液体体积与油位高度之间的函数关系，利用Matlab进行编程（见附录程序5，第36页），以为步长，求解出了从0到1200时的油量变化数据。将题设中给出的进油量的数据加上初始油，在将各个油面高代入中，得到一组新的数据，记录在（附表一，第22页）当中，并带有
13、相对误差分析。5.1.2 椭圆油罐体右侧纵向倾斜（1）模型的建立以左侧椭圆面中心文坐标原点，平行截面向右卫X轴，平行截面向上为Y轴，垂直截面为Z轴，建立坐标系。tpH油面yzA位置B位置C位置Q图二 油罐向右倾斜时的侧面投影如图所示，做出了油罐在纵向有倾斜时的侧面投影示意图，当油面在图中的A位置时。将油罐内的油分为两部分，位置以下，油的体积为，位置以上，油的体积为而此时有比例关系：当油面如C位置所示时：同理，当油面为B位置时，Q同样适用。此时，于是，得到了油的体积与油位高度和倾斜角之间的表达式计为：其中，为测得油位高度，即油浮子的示数；为油的体积；为椭圆油罐的长半轴长；为椭圆油罐的短半轴长；为油罐纵向倾斜的角度；为椭圆油罐的长度；为面积元素；为积分上限；为积分下限；为油浮子到罐体近端的长度；为下部分油的体积；为上部分油的体积；为倾斜时，液面的长度。此公式适用于由几何关系解得由于一般很小，而且油罐一般不会完全放空或填满，所以本文认为此公式适用于一般情况。（2）对模型求解根据附件一中给出的倾斜变位进油的数据，将，代入中（见附录程序5，第36页），得到了模型的结果，记录在（附表二，第24页）中。5.1.3 椭圆油罐体左侧纵向倾
