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1、5图1中，每个小正方形的边长为1，的三边的大小关系式：A B C D 图14相似形与测量术周髀算经中记载着商高的“用矩之道”：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”头一句是说用矩的一边测量一线是否直线，第五、六句是用矩画圆、画方的方法第二、三、四句是相似直角三角形的应用：把矩的一边垂直向上去测量高度，把矩的一边垂直向下测量深度，把矩平放去测量地面上两点间距离下面以第二句为例说明测量方法：设AB为矩的一边，BC是矩的另一边由顶点到视线的一段，AD为图48所示之可测距离，DE其中显然用到了相似原理，可见当时的人们已懂得相似三角形的一些性质了周髀是西汉初期的一部天
2、文、数学著作髀是量日影的标杆(亦称表)，因书中记载了不少周代的天文知识，故名周髀唐初凤选定数学课本时，取名周髀算经1勾股定理在中国，周髀算经是第一部记载勾股定理的书该书云：“求邪(斜)至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，4一条重要的面积定理在详解九章算法及续古摘奇算法中，杨辉讨论了勾股容方问题，并在后书中给出如下定理：“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角斜界一线，其名弦弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股中容直，二积之数皆同”图5中，横指BE，直指DE，推测其证明思路如下：因为ABCCDA(指面积相等，下同)，又因为AIE=EHA，EFC=CGE，所以ABC-AIE-EFC
3、=CDA-EHA-CGE，即BE=DE此定理反映了我国传统几何的一条重要原理出入相补实际上，AIE可以移置EHA处，EFC也可以移置CGE处，所以等积这种思想在刘徽海岛算经及赵爽“日高术”中已反映出来但首次表达成定理形式的是杨辉该定理在平面几何中有广泛的应用实际上，海岛算经中的各种测量公式都可由它推出國二數學教材中的開平方法，並不是洋人的唯一專利，在中國傳統數學中，己有類似的記載。求解2次以上的方程都叫做開方，與現今只將求二項方程xn=A(A0)的根稱為開方是不同的。周髀算經陳子答榮方問中求太陽到觀測者的距離的方法便用到開平方術，然而未給出具體方法。九章算術少廣章在世界數學史上首次給出了開平方
4、、開立方的程式。其方法與現今基本一致，只是帶有從除法脫胎出來的痕跡，故稱為開方除之。劉徽用幾何方法證明了開平方、開立方法的正確性。劉徽、孫子算經、賈憲等都對開方術作了不同程度的改進，賈憲的方法與現今完全一致。 辑思维，分析义理。这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注周髀算经，汉末魏初徐岳撰九章算术注 2卷（已失传）,魏末晋初刘徽撰九章算术注10卷(263)、九章重差图1卷（已失传）都是出现在这个时期,赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在周髀算经书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献
5、。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理（图6）和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。图6刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密。他的九章算术注不仅是对九章算术的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。例如，刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐
6、明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。刘徽指出，在开方求得整数后，还可以继续开方，“求其微数”。这不仅解决了求无理根的问题，而且提出了十进小数的方法。他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式,并首次用理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2 : 1, 解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两
7、立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理,指出球的体积与其外切“牟合方盖”(图7, 两个等半径的圆柱正交的共同部分)的体积之比为:4，为彻底解决球的体积提出了正确的途径。1.7 无理数的发现 中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。九章算术开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，九章算术的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值
8、。为九章算术作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则虽有所弃之数，不足言之也”。 十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。周髀算经中勾股定理的公式与证明首先，周髀算经中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之
9、，得邪至日”（周髀算经上卷二）而勾股定理的证明呢，就在周髀算经上卷一2 昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。 “数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出
10、于九九八十一。”：解释发展脉络数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方
11、三个正方形。“两矩共长二十有五，是谓积矩。”：此为验算勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 大正方形 减去 右上、左下两个长方形面积后为 勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 四个三角形面积 等于 右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。下载 (33.54 KB)2009-12-14 00:02注意： 矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。下载 (48.4 KB)2009-12-14 00:02 “既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全
12、书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐3、李国伟4、李继闵5、曲安京1等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。 长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称:“两矩者, 句股各自乘之实。共长者, 并实之数。由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。其实不然，摘录赵爽注释周髀算经时所做的句股圆方图2“句股各自乘, 并之为弦实, 开方除之即弦。案: 弦图又可以句股相乘为朱实二, 倍之为朱实四, 以句股之差自相
13、乘为中黄实, 加差实亦成弦实。” 注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。下载 (47.35 KB)2009-12-14 00:02赵爽弦图。注意中间的中黄实参考资料： 1. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於数学传播20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页。 2. 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。 3. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於汉学研究, 1989年第7卷第1期, 255-281页。 4. 李国伟:
14、 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於第二届科学史研讨会汇刊, 台湾, 1991年7月， 227-234页。 5. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於自然科学史研究,1993年第12卷第1期,29-41页 。简单应用和比例理论所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把ACD移置ACB处，又把、各移到、，那么依出入相补原理有：，PCRC，（指面积相等）由此得POOSROOQ，POQCRBBC，而 POAR，OSQC，PQAB，RBOQ，因而 AROQROQC，ABOQBCQC，就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。以上这些极简单的结果虽然没有在九章中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具
