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1、 第一节 角和弧度制、任意角的三角函数【考纲点击】1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【考点梳理】一、任意角1角的有关概念(1)角：角可以看成由 一条射线 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫作角的 始边 ，旋转终止时的射线叫做角的 终边 ，射线的端点叫做角的 顶点 2角的分类任意角可按旋转方向分为_正角_、_负角_、_零角_.3象限角第一象限角的集合|2k2k，kZ第二象限角的集合|2k2k，kZ第三象限角的集合 |2k2k，kZ第四象限角的集合 |2k2k2，kZ4.角的度量(1)角的度
2、量制有： _角度_制， _弧度_制(2)换算关系：1 _ _rad,1 rad.二、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么_y_叫做的正弦，记作sin_x_叫做的余弦，记作cos_叫做的正切，记作tan各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段 _ MP _为正弦线有向线段 OM _为余弦线有向线段 AT_为正切线【考点自测】1.设集合A小于90的角，B第一象限的角，则AB等于_(4)_.(1)小于90的角 (2)090的角 (3)第一象限的角 (4)以上都不对2将表的分针
3、拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是_.3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是1或4 .4. 885化成2k(02，kZ)的形式是6 .5已知角的终边经过点P(m，3)，且cos，则m等于4 .6. 若为第三象限角，则y的值为_0_ .【题型探究】题型一 角的集合表示例1(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角解析：(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ(2)2k(kZ)，(kZ)依题意02(kZ)k(kZ)k0,1,2，即在0,2)内终边与角的终边相同
4、的角为，.变式探究1(1)若角的终边和函数y|x|的图象重合，试写出角的集合；(2)若角的终边与168角的终边相同，求在0，360)内终边与角的终边相同的角解析：(1)由于y|x|的图象是三、四象限的角平分线，故在0360间所对应的两个角分别为225及315，从而角的集合为S|k360225或k360315，kZ(2)k360168，kZ，k12056，kZ.依题意得0k12056360，当k0,1,2时，k12056在0，360)内，所以56，176，296.题型二 弧长与扇形面积例2(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是
5、多少？(2)一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解析：(1)设扇形的圆心角是 rad，因为扇形的弧长是r，所以扇形的周长是2rr.依题意，得2rrr，2(2)1.14257.3065.446526，扇形的面积为Sr2(2)r2.(2)设扇形的半径为r，弧长为l，则l2r20，即l202r(0r10)扇形的面积Slr，将代入，得S(202r)rr210r(r5)225，所以当且仅当r5时，S有最大值25.此时l202510，2.所以当2 rad时，扇形的面积取最大值变式探究2已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长是_ _ .解析：如图，A
6、OB2弧度，过O点作OCAB于C，并延长OC交于D.AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，从而弧AB的长为l|R.题型三 已知角所在象限，判断所在象限的问题例3若是第二象限的角，试分别确定，的终边所在位置解析：(1)k18045k18090(kZ)，当k2n(nZ)时， n36045n36090；当k2n1(nZ)时， n360225n360270.是第一或第三象限的角(2)k12030k12060(kZ)，当k3n(nZ)时，n36030n36060；当k3n1(nZ)时，n360150n360180；当k3n2(nZ)时，n360270n360300.是第一或第二或第四象
7、限的角【解题回顾】已知角所在象限，应熟练地确定所在象限：第一象限第二象限第三象限第四象限第一或第三象限第二或第四象限区域变式探究3已知是第三象限角，问是哪个象限的角？ 解析：方法一：是第三象限角，180k360270k360，kZ，60k12090k120.当k3m(mZ)时，可得60m36090m360(mZ)故的终边在第一象限；当k3m1(mZ)时，可得180m360210m360(mZ)故的终边在第三象限当k3m2(mZ)时，可得300m360330m360(mZ)故的终边在第四象限综上可知，是第一或第三或第四象限的角方法二：将坐标系每象限三等分，再自x轴正向逆时针依次标上、(如图所示)
8、.所在区域如图中阴影部分(标有的部分)故在第一或第三或第四象限.题型四 三角函数的定义例4已知角的终边在直线3x4y0上，求sin，cos，tan的值解析：角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin，cos，tan；解析：角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|，当t0时，r5t，sin，cos，tan；当t0时，r5t，sin，cos，tan.综上可知，t0时，sin，cos，tan；t0时，sin，cos，tan.变式探究4(1)设90180，
9、角的终边上一点为P(x，)，且cosx，求sin与tan的值；(2)已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tanx，求sin，cos.解析：(1)r，cos，从而x，解得x0或x.90180，x0，因此x.故r2，sin，tan.(2)的终边过点(x，1)(x0)，tan，又tanx，x21，x1.当x1时，sin，cos.当x1时，sin，cos.题型五 三角函数值符号的判定例5(1)如果点P(sincos，2cos)位于第三象限，那么角所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)若是第二象限的角，则_0(填“”“”或“”)解析：(1)因为点P(sincos，2c
10、os)位于第三象限，所以sincos0,2cos0，即所以为第二象限角，选B.(2)2k2k(kZ)，1cos0,4k24k2，1sin20.sin(cos)0，cos(sin2)0，0.答案：(1)B(2)变式探究5已知|cos|cos且tan0，试判断的符号。解析：由|cos|cos得cos0，所以角的终边在第二或第三象限或y轴或x轴的非正半轴上；又tan0，所以角的终边在第二或第四象限，从而的终边在第二象限易知1cos0,0sin1，视cos，sin为弧度数，显然cos是第四象限角，sin是第一象限角所以cos(sin)0，sin(cos)0，故0.题型六 三角函数线的应用例6在单位圆中
11、画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin；(2)cos.解析：(1)作直线y交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ(2)作直线x交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围故满足条件的角的集合为|2k2k，kZ变式探究6设是第二象限角，试比较sin，cos，tan的大小解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，是第一或第三象限的角(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得： (1)当是第一象限角时，sinAB，cosOA，tanCT，从而得，cossintan；(2)当是第三象限角时，sinEF，cosOE，tanCT，得sincostan.综上所得，当在第一象限时，cossintan；当在第三象限时，sincostan.【当堂反馈】1已知角的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角值为_. 2点P从(1,0)出发，沿单位圆x2y21顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为_. 3已知点P(sincos，tan)在第一象限，则在0,2
