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1、赣马高级中学20112012学年度第二学期自主学习质量抽测 数学试题 2012年2月5日一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1命题“xR，x20”的否定是 xR，x20 2已知函数f (x)x2x，则f (x) 2x1 3.已知数列满足：，那么使成立的的最大值为244双曲线1的焦点坐标是 (3，0) 5设直线l1：ax2y10，l2：(a1) x3y0，若l1/ l2，则实数a的值是 6顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点(2，2)，则此抛物线方程为 y24x 7已知双曲线x21（b0）的一条渐近线的方程为y2x，则b的值是 2 9设椭圆1（ab0）的右准线与x轴的交点为M，
2、以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 10. 一圆形纸片的圆心为点,点是圆内异于点的一定点，点是圆周上一点.把纸片折叠使点与重合，然后展平纸片，折痕与交于点.当点运动时点的轨迹是椭圆11.已知抛物线过点，那么点到此抛物线的焦点的距离为 . 12给出下列命题“ab”是“a2b2”的充分不必要条件； “lgalgb”是“ab”的必要不充分条件；若x， yR，则“|x|y|”是“x2y2”的充要条件；ABC中，“sinAsinB”是“AB”的充要条件其中真命题是 （写出所有真命题的序号）13观察下列等式：112，23432，3456752
3、，4567891072，从中可归纳得出第n个等式是 (2n1)2(nN*) 14.若直线平分圆，则的最小值是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分14分） 在中，（I）求角的大小；（II）若，求解：（I）由已知得：，2分 4分 ， 6分 （II）由 可得： 7分 8分 10分 解得： 11分. 13分 16（本题满分14分）已知命题p：函数ylogax在(0，)上是增函数；命题q：关于x的方程x22ax40有实数根若pq为真，求实数a的取值范围解： 当p为真命题时，a1 2分当q为真命题时，4a2160解得a2或a2 4分因为pq为真
4、，所以p和q都是真命题 6分所以实数a的取值范围是2，) 8分17（本小题满分15分）已知数列是等差数列,，数列的前n项和是，且.（I）求数列的通项公式；（II）求证：数列是等比数列；解：（1）由已知 解得 6分（2）由于， 令=1，得 解得，当时， 得 ， 又, 数列是以为首项，为公比的等比数列.13分18（本题满分15分）迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位：)，能使整个矩形广告面积最小. 解：设矩形栏目的高为，宽为，则， 广告的高为，宽为(其中)
5、 广告的面积 当且仅当，即时，取等号,此时. 故当广告的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小.19（本题满分16分）已知椭圆C的焦点为F1(5，0)，F2(5，0)，焦点到短轴端点的距离为2 （1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P是椭圆C上的一点，且在第一象限若PF1F2为直角三角形，试判断直线PF1与圆O：x2y2的位置关系解：（1）由题意可得a2，c5， 2分则b215 所以椭圆C的方程为1 4分（2）圆O：x2y2的圆心为原点，半径r当PF2F1为直角时，点P的坐标为(5, ) 5分直线PF1的方程为y(x5)此时圆心到直线PF1的距离为所以直线PF1与圆O：x2y2相交
6、 7分当F1PF2为直角时，设点P的坐标为(x，y)解得所以点P的坐标为(4，3) 9分则点P到椭圆右焦点(5，0)的距离为 此时圆心O到直线PF1的距离为所以直线PF1与圆O：x2y2相切 10分20.（本小题满分16分）设数列的前项和，为等比数列，且.()求数列的通项公式；()设，求数列前项和解：()当时，；当时，故的通项公式为是首项为2，公差为4的等差数列.() ， 两式相减得20（本题满分16分）（理科）已知函数f(x)alnxx2(a1)x1（1）当a1时，求函数f(x)的单调增区间；（2）若函数f(x)在(0，)上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a0，且对任意x1，x2(0，
7、)，x1x2，都有| f(x1)f(x2)|2| x1x2|，求实数a的最小值解：（1）当a1时，f(x)lnxx21 则f(x)x 2分 令f(x)0，得x0或x1 所以函数函数f(x)的单调增区间为(1，)4分 （2）因为函数f(x)在(0，)上是增函数， 所以f(x)0对x(0，)恒成立 6分 即xa0对x(0，)恒成立 所以a0 8分 即实数a的取值范围是0，) （3）因为a0，所以函数f(x)在(0，)上是增函数 因为x1，x2(0，)，x1x2，不妨设x1x2，所以f(x1)f(x2)由| f(x1)f(x2)| 2| x1x2|恒成立，可得f(x1)f(x2)2(x1x2)， 即
8、f(x1)2x1f(x2)2x2恒成立 令g(x)f(x)2x，则在(0，)上是增函数 10分 所以g(x)x(a)20对x(0，)恒成立 即x2(a1) xa0对x(0，)恒成立 即a对x(0，)恒成立 因为(x13)32（当且仅当x1即x1时取等号）， 所以a32 所以实数a的最小值为32 12分 赣马高级中学20112012学年度第二学期自主学习质量抽测 数学参考答案及评分标准卷 2012年2月5日一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1xR，x20 22x1 3四 4(3，0) 5 6y24x 72 8 9 10 11(1，11) 12 13n(n1)(n2)n2(n1)
9、(2n1)2(nN*) 14二、解答题（本大题共6小题，共58分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）解：（1）由题意得2分 解得m0 4分（2）当m0时，z1i由(3z1) z42i，即(3i) z42i，得z 6分1i 8分16（本题满分8分）17（本题满分10分）解：（1）由x2y22x4y0，得(x1)2(y2)25所以圆C的圆心为(1，2)，半径为 2分因为直线l过圆C的圆心，所以46a0解得a2 4分（2）当a3时，圆心(1，2)到直线l：4x3y30的距离为d1 7分则24所以直线l被圆C所截得的弦长为4 10分18（本题满分10分）解：设饮料盒底面的宽为x cm，高为h cm，则底面长为2x cm根据Vx2xh，可得h = 2分所以,表面积S(x)2(x2xxh2xh) 2(2x23x)4(x2) (x0) 4分由S (x)4(2x)0， 6分得x3 8分当0x3时，S(x)0，函数S(x) 在(0，3)是减函数；当x3时，S(x) 0，函数S(x) 在(3，)是增函数所以，当x3时，S(x)取得极小值，且是最小值答：当饮料盒底面的宽为3 cm时，才能使它的用料最省10分19（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）20（本题满分12分） 5
