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1、2022年高中数学新人教版必修2教案：第2章 2-3-1 直线与平面垂直的判定 Word版含答案1了解直线与平面垂直的定义(重点)2理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直(难点)3理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题(易错点)基础初探教材整理1直线与平面垂直的定义阅读教材P64倒数第1行以上的内容，完成下列问题文字语言图形语言符号语言如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足l直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行B相交C异面D垂直【解析】由直线与平面垂直的定义
2、可知，lm，l与m可能相交或异面，但不可能平行【答案】A教材整理2直线与平面垂直的判定定理阅读教材P65“例1”以上的内容，完成下列问题文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直D不确定【解析】直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边【答案】B教材整理3直线与平面所成的角阅读教材P66“探究”以下至“例2”以上的内容，完成下列问题1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角2范围：设直线与平面所成的角
3、为，则090.3画法：如图231所示，斜线AP与平面所成的角是PAO.图231若斜线段AB是它在平面内射影长的2倍，则AB与平面所成角的大小为()A60B45C30D90【解析】斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形如图所示，ABO即是斜线段AB与平面所成的角又AB2BO，所以cos ABO，所以ABO60.【答案】A小组合作型线面垂直的定义及判定定理的理解下列说法中正确的个数是()如果直线l与平面内的两条相交直线都垂直，则l；如果直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0B1C2D3【精彩点拨】利用
4、线面垂直的定义及判定定理准确判断【自主解答】由直线和平面垂直的定理知对；由直线与平面垂直的定义知，正确；当l与不垂直时，l可能与内的无数条直线垂直，故不对；正确【答案】D1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线再练一题1下列说法中，正确的是()A若直线l与平面内无数条直线垂直，则lB若直线l垂直于平面，则l与平面内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C若ab，a，l，则lbD若ab，b，则aC当l与内的任何一条直线都垂直时，l，故
5、A错；当l时，l与内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在内，所以D错误线面垂直判定定理的应用如图232，在ABC中，ABC90，D是AC的中点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC.图232(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.【精彩点拨】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，ABBC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用【自主解答】(1)SASC，D为AC的中点，SDAC.连接
6、BD.在RtABC中，有ADDCDB，SDBSDA，SDBSDA90，SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.(2)ABBC，D是AC的中点，BDAC.又由(1)知SDBD，且ACSDD，BD平面SAC.证线面垂直的方法1线线垂直证明线面垂直：定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直2平行转化法(利用推论)(1)ab，ab；(2)，aa.再练一题2如图233所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底
7、面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点求证：AD平面A1DC1.图233【证明】AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1.而A1B1AA1A1，A1C1平面AA1B1B.又AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知计算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.探究共研型直线与平面所成的角探究1若图234中的POA是斜线PO与平面所成的角，则需具备哪些条件？图234【提示】需要PA，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样POA就是斜线
8、PO与平面所成的角探究2根据线面角的定义，我们可以如何求线面角的大小？【提示】作(或找)出斜线在平面内的射影，将空间角转化为平面角，放在三角形内求解探究3求线面角的关键是什么？【提示】确定斜线在平面内的射影在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角【精彩点拨】解答本题关键是结合正方体的性质【自主解答】(1)直线A1A平面ABCD，A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A1，则AC，tanA1CA.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，BB1平面A1B1C
9、1D1，A1C1平面A1B1C1D1，BB1A1C1，又BB1B1D1B1，A1C1平面BDD1B1，垂足为O.A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在RtA1BO中，A1OA1C1A1B，A1BO30.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30.求直线和平面所成角的步骤1寻找过斜线上一点与平面垂直的直线2连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角3把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角再练一题3如图235所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值. 图235【解】取AA1的中点M，连
10、接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EMAD.又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD平面ABB1A1，所以EM平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角设正方体的棱长为2，则EMAD2，BE3，于是在RtBEM中，sin EBM，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A垂直B相交但不垂直C平行D不确定【解析】梯形的两腰所在直线相交，由线面垂直的判定定理知，垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面垂直，故选A.【答案】A2若两条不同的直线与
11、同一平面所成的角相等，则这两条直线()A平行B相交C异面D以上皆有可能D在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面故选D.3在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC6，BC8，EC平面ABC，且EC12，则ED_.【解析】如图，AC6，BC8，AB10，CD5.在RtECD中，EC12，ED13.【答案】134正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成角为60，则该四棱锥的高为_. 【解析】如图，过点S作SO平面ABCD，连接OC，则SCO60，SOsin 60SC23.【答案】35在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面BC1D.【证明】如图，连接AC，ACBD又BDA1A，ACAA1A，AC，A1A平面A1AC，BD平面A1ACA1C平面A1AC，BDA1C.同理可证BC1A1C.又BDBC1B，BD，BC1平面BC1D，A1C平面BC1D.
