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1、二次根式期末复习知识清单及典型例题二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1:二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【例1】下列各式,，,，其中是，二次根式的是_（填序号）变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的个数有_个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是 来源：学*科网Z*XXK变式:1、使代数式有意义的x的取值范围是（ ） A、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3且x42、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、使代
2、数式有意义的x的取值范围是 【例3】若y=+2009,则x+y= 变式：1、若,则xy的值为（ ）A1 B1 C2 D32、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值.【例4】已知a是整数部分，b是 的小数部分,求的值。变式：1、若的整数部分是a,小数部分是b，则 .2、若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点2：2、双重非负性：是一个非负数即；3、平方的形式（双胞胎公式）：(1)；（2） 公式与的区别与联系： (1）表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数 (2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数 （3)和的运算结果都是非负的【例5】若则= 变式：若与互为相反数，
3、则= 。【例6】 化简:的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4变式:1、在实数范围内分解因式： = ;= 【例7】已知，则化简的结果是（ ）A、 B、C、D、 变式：1、根式的值是（ ）A-3 B3或-3 C3 D92、已知a0，那么2a可化简为（ ）Aa Ba C3a D3a3、若,则等于（ ）A. B。 C. D. 4、当al且a0时,化简 【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简ab+ 的结果等于（ ） A2b B2b C2a D2a【例9】化简的结果是2x5,则x的取值范围是（ ）（A)x为任意实数 （B）x4 （C) x1 （D）x1变式：若代
4、数式的值是常数,则的取值范围是（ )或【例10】如果，那么a的取值范围是（ ）A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 变式：如果成立，那么实数a的取值范围是（ ）【例11】化简二次根式的结果是（ )A. B。 C. D。变式:1、把二次根式化简，正确的结果是（ ）A. B。 C。 D. 2、把根号外的因式移到根号内:当0时， ； 。知识点3：4、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号5、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根
5、式，即可以合并的两个根式。【例12】在根式1) ，最简二次根式是（ ) A1） 2） B3) 4) C1） 3） D1) 4)变式：1、中的最简二次根式是 。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（ )A B C D3、下列根式不是最简二次根式的是(）A。B. C。D.【例13】下列根式中能与是合并的是( )A。 B. C.2 D. 变式:1、下列各组根式中,是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ； ；中，能与合并的二次根式是 。知识点4：6、分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就
6、说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： 单项二次根式：利用来确定,如：,，与等分别互为有理化因式.两项二次根式:利用平方差公式来确定.如与，分别互为有理化因式.分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式； 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例14】 把下列各式分母有理化（1) （2） （3） （4）变式：1、把下列各式分母有理化（1） （2） （3) 变式：2、已知,，求下列各式的值：(1）(2）知识点5: 7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 =（a0，b0)8、二次
7、根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根. （a0，b0） 9、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=(a0，b0）10、二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根.=（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【例15】化简（1） (2） (3） 变式：计算（1） （2） (3） (4）【例16】能使等式成立的的x的取值范围是( ）A、 B、 C、 D、无解知识点6：二次根式的加减:需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。【例17】计算（1）； (2）；（3） (4） （4)知识点八：根式比较大小1、根式变形法 当时，如果，则；如果，则。2、平方法 当时，如果，则；如果，则.3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较.5、倒数法6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：；8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：； 【例18】 比较与的大小。变式：比较与的大小。
