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1、2.4正态分布教学设计嘉积中学 数学组 郭倩1. 教学要素分析1.1教材分析正态分布是人教B版数学（选修2-3）的内容，是仅有理科学生学习的。这一节在离散型随机变量及其分布列之后，是高中学习的唯一一个连续性随机变量分布列。1.2 教学内容的地位和作用正态分布在生产生活、数学或其他学科领域中被广泛使用，这一节内容可以提升学生的数学素养，也可以给学生在大学继续学习概率统计奠定基础。学生对连续性的随机变量的理解可以使得学生对概率统计知识系统化形成有促进作用。1.3学生情况分析在学习本节内容前，学生对离散型随机变量及其分布列已经掌握了，但对于连续性随机变量的概念并不好接受。学生会进行抽样调查，采集数据
2、，处理数据画出直观图，但是对于复杂的概率计算问题掌握的比较一般，缺少严谨的思维习惯。1.4教法分析本节将创设合适的教学情境，提出有效的数学问题，来让学生对连续性有所理解。通过课前布置任务让学生采集各班学生身高数据，在课堂上创设应用性教学活动，让学生亲身体验正态分布具有很强的应用性。课堂上通过安排学生小组合作学习来降低难度。1.5教学目标（1） 知识与技能：理解正态分布的概念、密度曲线的特点和表示的意义；认知正态分布在现实生活中的应用；能够利用对称性和3原则计算正态分布的概率。（2） 过程与方法：通过高尔顿钉板试验理解正态分布、密度曲线的概念；通过实际数据画直方图的试验深刻理解正态分布；由密度曲
3、线的对称性和3原则计算正态分布的概率。（3） 情感、态度与价值观： 通过高尔顿钉板试验，激发学生对正态分布的求知欲，体会随机变量向连续性的转变，提高了学生数学抽象的素养；通过对实际数据的画直方图试验，让学生参与活动，处理数据，直观对比，增进了学生数学运算和数据分析的素养。课程设置提升了学生的严谨性数学思维习惯，活动的完成增进学生实际应用的能力和科学精神。1.6教学重难点（1） 教学重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；，对正态分布密度曲线的形状的影响；利用密度曲线的对称性计算正态分布的概率。（2）教学难点：连续型随机变量的理解，正态分布密度曲线的意义；正态分布在实际问题中的应用；利用3原则
4、计算正态分布的概率。2 教学过程2.1 创设情境，引入课题（1）播放视频，初探新知【设计意图】视频时长一分钟，将高尔顿发明钉板的过程展现出来，让学生通过数学史的再现，了解正态分布的研究过程，增进数学的兴趣。（2）利用信息技术做高尔顿钉板试验【设计意图】学校里没有高尔顿钉板教具，为了直观让学生了解正态分布的曲线，取出30个小球与200个小球做对比试验，让学生直观感受当样本容量足够大时可以形成一种“中间高，两边低”的分布。2.2 课堂活动，知识探究（1）利用几何画板模拟小球的直方图，随着球槽数增多，曲线变得光滑起来，形成一条“钟型”曲线，即为密度曲线。【设计意图】随着组数逐渐变大，直观展示随机变量
5、从离散向连续的过渡，帮助学生理解连续性随机变量和密度曲线的意义。（2） 历史解读：德国数学家高斯发现正态分布的密度函数，写出它的解析式，由于正态分布在生产生活、物理学、天文学的广泛使用，德国的10马克钞票的正面上画上了正态分布。 在黑板上板书正态分布密度曲线的解析式：，【设计意图】讲数学历史，有助于增进学生的学习兴趣，发扬数学家的科学精神。学生自己搜集数据的调查表（3） 应用活动：画三幅直方图之前布置了实践作业，让学生抽样调查高二年级同学身高，每班10人，共200人的身高数据。请按要求绘制直方图：1. 用随机抽样的200名学生身高数据，以10为组距绘制直方图；2. 用表格中前100名学生身高数
6、据，以5为组距绘制直方图；3. 用随机抽样200名学生身高数据，以5为组距绘制直方图。按学生座位布置任务，每小组数100个数据，分组由教师统一规定，合作完成三幅直方图的频数累积。由学生活动得到画直方图1需要的频数表：频数表1身高分段区间分割点频数（200）150,160)15958160,170)16972170,180)17958180,190)18912由学生活动的到画直方图2和3需要的频数表：频数表2身高分段区间分割点频数1（100）频数2（200）150,155)154821155,160)1592037160,165)1641739165,170)1691733170,175)174
7、1932175,180)1791126180,185)184812185,19019000 在EXCEL中登记数据，并用EXCEL插入柱状图的功能绘制3幅直方图：问题：通过上面三幅直方图，两两对比，请问你能得到什么样的结论？由学生回答，随样本数据增多，样本越发呈现出正态分布的样子；随分组变多，样本也越来越贴近正态分布。【设计意图】引导学生做这个活动，目的是让学生从采集数据到处理数据全程参与，让学生提高自己的处理数据的数学素养，用所学知识在“大数据时代”中成为学有所用。让学生进行结论对比，可以让学生增进自己的逻辑思维的素养，培养解决问题的能力。2.3 逐步深入，思维升华（1）正态函数密度曲线的特
8、点问题1：观察正态函数密度曲线，请问概率如何表达？按照图形，类比于直方图中的频率对应长方形的面积，引导学生得出密度曲线与轴之间的面积，由曲边梯形的面积用定积分表示，但在高中还不能用定积分算出概率。问题2：观察正态函数密度曲线，请问有什么特征？（1） 曲线在轴上方，与轴不想交；（2） 曲线是单峰的，它关于直线对称；（3） 曲线在处达到峰值（4） 曲线与轴之间的面积为1。请填一下以下的空白：（1） 当=_时，函数值最大；（2） 的值域为_;（3） 的图像关于_对称；（4） 当_时，为增函数；当_时，为减函数。【设计意图】这段让学生自己通过图像来发现正态函数密度曲线的特征，问题和填空的内容重复很多，
9、如果学生可以说全特征，则后面就师生一起填空，若学生说不清楚特征，由教师提示，就让学生填空。这样增进了学生的看图能力和函数思想。（2） 信息技术应用：，对正态分布密度曲线的形状的影响用几何画板做出正态分布图像，先固定的值，作出取不同值的图像；再固定的值，作出作出取不同值的图像。【设计意图】课本的信息技术应用专栏以上述两种特殊取值进行对比得到，对正态分布密度曲线的形状的影响的结论，用几何画板可以展示动图，让学生看到，渐变的过程，将更加直观，更严谨。（3） 标准正态分布随机变量服从正态分布，密度函数的解析式是，记为。若取，则称其为标准正态分布，解析式是，记为。（4） 正态曲线下的面积规律由正态曲线的
10、对称性知对称区域面积相等（5）3原则：服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称为原则正态分布在三个特殊区间内取得的概率值固定值，不因，的改变而不同，如图所示：随机变量取值落在区间上的概率约为；落在区间上的概率约为；落在区间上的概率约为。可以看到，却大多数随机变量都在之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生(小概率事件)。【设计意图】正态分布的概率问题在高中阶段的计算就是使用对称性或3原则，是高考考查的内容之一。2.4 实例讲授，学以致用oyx例1：设三个正态分布图像如下图所示：例2.已知随机变量，若，则_.例3.已知一次考试共有60名同学参
11、加，考生的成绩，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ ） 【设计意图】例1考查对，与正态分布密度曲线的形状的关系，例2是使用对称性解正态分布概率问题，例3是用原则来计算概率问题。课后思考题：在某次数学考试中，考生的成绩为，。（1）试求考试成绩位于区间（70,110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？2.5 课堂小结请一位同学进行课堂小结3 教学反思3.1 课程引入和课堂活动的节奏要慢，慢慢渗透给学生正态分布的知识，让学生有时间更充分的理解随机变量的连续性。核心素养的形成不是学会了知识、会做题目就可以的，而是要经过知识的内化过程。3.2 课程的活动设计仅有200个数据，难以应对大数据时代对学生数据处理的考验。平时可以让学生在采集数据的数量有所突破，还可以让学生采集其他数据备用，在不同的课程中灵活使用。
