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1、高中数学专题教学研习本资源由专人彭剑平整理，未经允许不得复制影印，资源仅供教师研习，欢迎批评指正说明：Level A为基本（要求熟悉掌握），Level B为高考（常考规律总结），Level C为竞赛（拓展的课外知识）注： 本资源仅提供pdf版本 交流： 博客：http:/ 邮箱：anson_专题： 平面向量基本知识考纲要求：内容ABC51 平面向量的概念 52 平面向量的加法、减法及数乘运算 53 平面向量的坐标表示 54 平面向量的数量积 55 平面向量的平行与垂直 56 平面向量的应用 基本框架：平面向量概念线性运算基本定理加、减、数乘几何意义坐标表示数量积几何意义模共线与垂直共线（平行）
2、垂直l x1y2x2y1=00 x1x2y1y2=0投影在方向上的投影为|cosq设与夹角q，则cosq|夹角公式& 基本知识点（Level A）【1】向量的物理背景与概念（1）了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度（2）既有大小又有方向的量叫做向量注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）【2】向量的基本概念与几何表示了解向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量（1）向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量（2）带有方向的线段叫做有向线段，有向线段的三要素：起点、方向、长度（3）零向量：长度为的向量, 记作： （4）单位向量：长度等于
3、个单位的向量（与共线的单位向量是）若、为单位向量，则（错误，单位向量只表示向量的模为，并未指明向量的方向）（5）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量规定：零向量与任一向量平行（6）相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量有传递性若，则（正确） 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性（因为有)； 三点共线共线（7）向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；定义：长度为零的向量叫做零向量（8）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量的相反
4、向量是_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知，则把向量按向量平移后得到的向量是 答案：（2）下列命题： 若，则； 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； 若，则是平行四边形； 若是平行四边形，则； 若，则； 若，则其中正确的是 答案：【3】向量的表示法（1）几何表示法用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同【3】
5、向量的加法运算设，那么向量叫做与的和，即1代数运算（1）（2）坐标运算：设，则几何表示：平行四边形法则、三角形法则（1）三角形法则的特点：首尾相连（2）平行四边形法则的特点：共起点但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量 （3）三角形不等式：以向量、为邻边作平行四边形，则两条对角线的向量，且有：2向量加法有如下规律：（1）交换律：；（2）结合律：；（3） 【4】向量的减法运算设，由减向量的终点指向被减向量的终点注意：此处减向量与被减向量的起点相同（1）三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量（2）坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）化简：
6、 ； 答案：；（2）若正方形的边长为，则 答案：（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为 答案：直角三角形（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为 答案：（5）若点是的外心，且，则的内角为 答案：【5】实数与向量的积1定义实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 ； 当时，的方向与的方向相反；当时，（注意：）；当时，的方向与的方向相同 实数与向量的积是一个向量2运算律 ； ； 3坐标运算【6】向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数，使得=设，其中，则当且仅当时，向量、共线【7】平面向量的坐标运算（1）设，则（2）设=，=，则，=（3）设，则
7、（4）设=，则（模长）_ 经典案例 有疑问随时mail例：（1）已知点，若，则当 时，点在第一、三象限的角平分线上答案：（2）已知，且，则 答案：或（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 答案：（4）设，且，则、的坐标分别是 答案：，（5）已知向量， 若，求向量、的夹角； 若，函数的最大值为，求的值答案：；或【8】向量的平行与垂直 （1）（2）& 拓展知识点（Level B）【1】向量运算和实数运算有类似的地方也有区别一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即，切记两向量不能相除(相约)& 深化知识点（Level C）交流、素材提供 博客：http:/ 邮箱：anson_& 高阶阅读交流、素材提供 博客：http:/ 邮箱：anson_
