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1、2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1若,则的值为( )(A) (B) (C) (D)解: 由题设得代数式变形,同除b2若实数a,b满足,则a的取值范围是( )(A)a (B)a4 (C)a或 a4 (D)a4解C因为b是实数,所以关于b的一元二次方程的判别式 0,解得a或 a4方程思想,判别式定理;要解一元二次不等式3如图,在四边形ABCD中,B135,C120,AB=,BC=,CD,则AD边的长为( )(A) (B)(C) (D)解:D如图,过点A,D
2、分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F由已知可得BE=AE=,CF,DF2,于是 EF4过点A作AGDF,垂足为G在RtADG中,根据勾股定理得AD勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法4在一列数中,已知,且当k2时,(取整符号表示不超过实数的最大整数,例如,),则等于( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解:B由和可得,因为2010=4502+2,所以=2高斯函数;找规律。5如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,1),C(2,1),D(1,1)y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180得点P1,点P1绕点B旋转180得
3、点P2,点P2绕点C旋转180得点P3,点P3绕点D旋转180得点P4,重复操作依次得到点P1,P2, 则点P2010的坐标是( ) (A)(2010,2) (B)(2010,) (C)(2012,) (D)(0,2)解:B由已知可以得到,点,的坐标分别为(2,0),(2,)记,其中根据对称关系,依次可以求得:,令,同样可以求得,点的坐标为(),即(),由于2010=4502+2,所以点的坐标为(2010,)二、填空题6已知a1,则2a37a22a12 的值等于 解:0由已知得 (a1)25,所以a22a4,于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车
4、和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t 解:15设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得, , 由,得,所以,x=30 故 (分) 8如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0)若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等
5、的两部分,则直线l的函数表达式是 解:如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AFCE,DF,且相交于点N由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分于是,直线即为所求的直线设直线的函数表达式为,则解得 ,故所求直线的函数表达式为9如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D若CDCF,则 解: 见题图,设因为RtAFBRtABC,所
6、以 又因为 FCDCAB,所以 即 ,解得,或(舍去)又RtRt,所以, 即=10对于i=2,3,k,正整数n除以i所得的余数为i1若的最小值满足,则正整数的最小值为 解: 因为为的倍数,所以的最小值满足,其中表示的最小公倍数由于,因此满足的正整数的最小值为 三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11如图,ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径,连接EF. 求证: (第12A题)证明:如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以EDBC, FDBC,因此D,E,F三点共线. (5分)连接AE,AF,则,所以,AB
7、CAEF. (10分)作AHEF,垂足为H,则AH=PD. 由ABCAEF可得,从而 , 所以 . (20分)12如图,抛物线(a0)与双曲线相交于点A,B. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且AOB的面积为3(O为坐标原点).(1)求实数a,b,k的值;(2)过抛物线上点A作直线ACx轴,交抛物线于另一点C,求所有满足EOCAOB的点E的坐标.解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.设点B(t,),AB所在直线的函数表达式为,则有解得,.于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故,整理得,解得,或t(舍去)所以点B的坐标为(,)因为点A,B都在抛
8、物线(a0)上,所以解得 (10分)(2)如图,因为ACx轴,所以C(,4),于是CO4. 又BO=2,所以.设抛物线(a0)与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为(,0).因为CODBOD,所以COB=.(i)将绕点O顺时针旋转,得到.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为(4,).延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.(ii)作关于x轴的对称图形,得到点(1,);延长到点,使得,这时点E(2,)是符合条件的点所以,点的坐标是(8,),或(2,). (20分)13求满足的所有素数p和正整数m.解:由题设得,所以,由于p是素数,故,或. (5分)(1)若,令,k是正整数,于是,故
9、,从而. 所以解得 (10分)(2)若,令,k是正整数. 当时,有,故,从而,或2. 由于是奇数,所以,从而.于是这不可能. 当时,;当,无正整数解;当时,无正整数解. 综上所述,所求素数p=5,正整数m=9. (20分)14从1,2,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?解:首先,如下61个数:11,(即1991)满足题设条件. (5分)另一方面,设是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数,因为, ,所以 .因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数. (10分)设,i=1,2,3,n.由,得,所以,即11. (15分),故60. 所以,n61.综上所述,n的最大值为61. (20分)1