观测数据的圆滑插值与网格化

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1、观测数据的圆滑、插值与网格化-、观测数据的圆滑1 .徒手平滑法人们依据观测剖面(数据)上的变化应具有一定的连续、 渐变的规律，徒手修改平滑掉某些明显的突变点。这种做法 的要求是：(1) 平滑前后各相应点的观测值的偏差不应超过实测异常 的均方误差；尽可能使平滑前后剖面曲线所围成的面积相等，重心 不变。2.最小二乘平滑法尽管偶然误差会使异常曲线不光滑而成锯齿状,但并不会改变异常曲线变化的基 本趋势。我们可以用一个多项式来拟合这种变化趋势。(1)线性平滑公式在异常剖面图上，若在一定范围内异常按照线性关系变化，则在这个范围内某一 点经平滑后的异常值可用线性方程来表示：g(x) = aQ +axx式中的

2、易和町用最小二乘方法解出。若该点原始值为它的平滑值即为则可列出:m m5 =工g(兀)一 g(兀)=工。0 +。1死一=mini-mi=-m为偏差的平方和。利用微分求极值的方法将上式对。和同求导数，然后令其为零得:0696daxrn=20+。1 兀一 &(兀)=oi=mm可解得：a0mi=_ m2m +1mX 兀 $3) i=mrn-W 2o +。1 兀一 g3)l = 0 i=in=rn由g(x) =。0 +。1兀可得：m S g3)g (0) = ao一 m2m +1实际上就是在该剖面上以结论：对某一点平滑后的值，该点为中心取奇数点的算术平均值。当m=l吋,得三点 平滑公式为：顾冷 g (

3、T) + g (0) + g 同理可得5、7和9点等平滑公式。线性平滑实例 ! 左图为一一一低卿頁F =5 co农）2 G左图为三个原始信号分别相加的结果信号si5 平滑分析采用不同的平滑点数和平滑次数，对信号sl + s2+s3进行平滑，分析结果。(1)平滑点数SO 1001502002503003SO4004S0 SOOSO 1001502002503003SO4004S0 SOO3点1次平滑SO 1001502002503003SO 400450500SO 1001502002503003SO4004S0 SOOSO 1001502002503003SO4004S0 SOO-2 -617

4、42 -ZA9yr - 4rX】厂T-2-450100 1SO 2002S0300360400460500在实际工作中究竟采用几点平均最合适，这 需要根据平滑的目的而定。一般來说参加平 均的点越多，得岀的曲线越平滑。SO 1001502002503003SO4004S0 SOO(2)平滑次数6由图中可以看出，平滑次数 越大则得出的曲线越平缓。 在实际工作中应该根据目的 选择合适的平滑次数和平滑 点薮。%本程序采用线,性平滑公式%Sign al为原始信号，sigil smooth为平滑后的信号M二5;%平滑点数，为奇数%N 二 2;% 平滑次数%for k二 1:Nfor i=fix(M/2)+

5、1 :length(signal)-fix(M/2) sum 二 0;for j=i-fix(M/2):i+fix(M/2) sum=sum+signal(j);endsignal_smooth(i)=sum/M;endsignal=signal_smooth;end（2）二次曲线平滑公式若异常剖面曲线在一定范围内可视为二次曲线时，则在这个范围内，平滑 公式可以用下面的二次曲线方程来表示。即：g(兀)=a。+ axxt + a2xf同样可以用最小二乘法求出上面方程中的系数。过程略。5点二次曲线平滑公式：S(0)= 17g(0) + 12g(l) + g(-1) - 3g(2) + g(-2)7

6、点二次曲线平滑公式：莎二丄7g(0) + 6g + g(-l) + 3g(2) + g(-2) - 2g(3) + g(3)对5点二次曲线平滑分析：不改变平滑点数，只改变平滑次数，结果如下:弋1 pl.;:平滑2.Vx7AJ501001502002503003SO400450 SOO-2-49-2-46二15占丿八、50次平jt/XfJSO 100 1SO 2002503003504004S05002-2-4%501001502002503003 SO 4004SO500260100 1SO 2002503003 S0 4004SOSOOV二15点10(诙平骨5.Vr 2x.lJ2 -4 -9

7、一从图中可以看出，采用二次曲线平滑对于保 持信号的曲线性质是有利的。采用何种平滑 方式要考虑到平滑目标。（3）五点三次曲线平滑公式用三次多项式：23y = aG+aix+a2x +a3x根据最小二乘原理，町得平滑公式为:-2丄70/ y 4 +-2八2Zy2/(丄35-H+ 27治 + 12y. -8v. , + 2v.+2)X = (_3X-2 + 12Z-1 + 17% + 12必+1 -3必+2)X+l = (2X-2_8X-1 + 12 Z + 27 Ji+1 + 2Z+2)6x + 4x+ + 69x+2)从左图中可以看出，采用 三次曲线平滑也可以使得 曲线平滑。要注意的是， 在一些

8、物探方法中，高于 三次的曲线很少用。也不 是说平滑曲线的次数越高 则精度越好，一般拟合多 项式的阶不超过5次。平 滑次数越多越好，平滑曲 线和平滑次数的选择是和 平滑目的联系在一起的。 曲线异常被平滑掉了，意 味着“高频”成分减弱， 这有可能将本來的细节信 息漏掉了，所以要选择合 适的平滑曲线和平滑次数。二、平面异常的平滑法平面异常平滑法是根据观测区内某一小面积范围内的已知观测值的变化趋势，建立一 个拟合多项式，某一点的平滑值可以用拟合值代替。由于拟合多项式含两个变量，所 以该多项式代表了曲面。1线性平滑公式在异常平面图的一定范围内，若异常形态呈简单线性变化 时，可对某一点（X, y）的异常值

9、用下面方程来拟合表示 为：g(x, y) = aQ+ax+a2y其中兔、和色为待定系数。下面直接给出5点和9点平滑公式:5点:g (0, 0) = g(0,0) + g(1,0) + g( 1,0) + g(0,1) + g(0,1)9点:g (0, 0) g(0,0) + g(2,0) + g(1,0) + g( 1，0) + g(2,0) +g (0,2) + g (0,1) + +g (0, -1) + +g (0, -2)线性平滑实例40006000800010000原始曲面goooooooooo o 5 o 5 o 5 o 5 o 5 45566778899平滑结果分析1400014

10、000120001200010000IOOOO80008000600040004000200020001400012000IOOOO8000eooo4000200040 cc6000y-o-60004505005506C0650700750SCO8509C0950ICOO1050HOC1150I20CI25CI30C1350140C17点平滑29点平滑4505005506C06507007508C0850I-9C0 950 100C 105C 110C 115C 120C 125C 130C 135CM40C1400012000IOOOOeoooeooo40002000101点平滑4505005506C06507007508C08509C0950100010501100115C120012501300135014005C05506C0B507C0750BOOB50900950100010501100115012001250130013501400平滑点 数越多, 则平滑 效果越 明显。2000.140002000-14-08-0-202012000100008000eooo-