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1、希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MNPQ等于( ) A1; B2; C3; D42两个正数m，n的比是t(t1)若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.; D.3.y0时,等于( ) A.-x; B.x; C.-x; D.x.4(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( )Aabc. B(a-b)2+(b-c)2=0. Ccab. D
2、a=bc5如图30，AC=CD=DA=BC=DE则BAE是BAC的( )A4倍.B3倍. C2倍.D1倍6D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD2=BD2+CD2. BAD2BD2+CD2. C2AD2=BD2+CD2. D2AD2BD2+CD2 7.方程的实根个数为( )A4B3. C2D18.能使分式的值为112的x2、y2的值是( )A.x2=1+，y2=2+; B. x2=2+，y2=2-;C. x2=7+4，y2=7-4; D. x2=1+2，y2=2-.9在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，
3、完全平方数的个数为z，合数的个数为u则x+y+z+u的值为( )A17B15. C13D1110两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x2-21x+t=0的两个根,则等于( ) A.2213; B.; C.; D.二、填空题（每题1分，共10分）1.198919911991-199119891988=_2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=_3.(a2+ba+bc+ac):(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)的平方根是_4边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么=_.5.方程组有正整数解,则正整数a=_.6.从一升
4、酒精中倒出升,再加上等量的水,液体中还有酒精_升;搅匀后,再倒出升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有_升酒精.7如图31，在四边形ABCD中AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米且ABC=90，则四边形ABCD的面积是_8如图32，1+2+34+5+6=_9.的最小值的整数部分是_.10已知两数积ab1且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则=_.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立
5、方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于22一块四边形的地（如图33）(EOFK，OHKG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明答案与提示一、选择题提示：3由y0，可知x0故选(C)4容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式故选(B)5ACD是等边三角形,BCA和ADE均为等腰三角形.故知BAC=30,而BAE=120,所以选(A)6以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2BD2+CD2，当D
6、为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2BD2+CD2故选(D)故选(C)选(C)9x=4，y=5，z=4，u=4选(A)10由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数二、填空题提示：1198919911991-199119891988=1989(1991104+1991)-1991(1989104+1988)=19891991-19911988=19912原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+
7、3c)3原式=(a+c)(a+b)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)平方根为(a+c)4正多边形中，最小内角为60，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为1805两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾a=1或27在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可ADC为直角三角形从而有面积为81+2+3+4+5+6，正好是以2，3，5为3个内角的四边形的4个内角之和和为36010由已知条件可
8、知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1设这两个正数为a，b则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b2证明（反证法）：若a+b2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b1，a2-b，这个不等式两边均为正数，a3(2-b)3a38-12b+6b2-b3a3+b38-12b+6b26b2-12b+60b2-2b+10(b-1)20 矛盾a+b2即本题的结论是正确的2本题以图33为准由图34知OKAB，延长EO和FK，即得所求新渠这时，HG=GM（都等于OK），且OKAB，故OHG的面积和KGM的面积相同即新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了KGM这么大的一块地我们再看另一种方法，如图35作法：连结EH，FG过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线又：EHONEOH面积=FNH面积从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多即新渠面积与原渠的面积相等由图35可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）故应选第一种方法。
