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1、五 空间角和距离知识要点:1两条异面直线所成的角:经过平行移动转化为相交直线,解与相交直线有关的三角形。2直线与平面所成的角:斜线与它在平面内的射影所成的角。3二面角的求法: (1)定义法: (2)三垂线法:(3)射影面积法_l_A_B_P_O_O_A4距离的转化思想点面距离 线面距离 面面距离5思想方法:(I)平面几何意识:中线、中位线意识;平行四边形或矩形的对角线意识;重心、垂心意识。(II)几何体的割补意识题例1. 已知二面角的大小为, (A) (B) (C) (D)2如图,正四棱柱中,则异面直线与所成角的余弦值为()ABCD3若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=_4如图,A
2、、B、C是表面积为48的球面上三点,AB=2,BC=4,ABC=60,O为球心,则直线OA与截面ABC所成的角是( )AarcsinBarccosCarcsinDarccos5设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点,DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起,使二面角ADEB为45,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M、N的连线与AE所成角的大小等于_6在正三棱柱中ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为(A) (B) (C) (D)7正三棱锥高为2,侧棱与底面所成角为,则点到侧面的距离是.8已知平面平面,直线m,直线n ,点Am,点Bn,记点A、B之间
3、的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则A.bac B.acbC. cab D. cba9已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为,则球心O到平面ABC的距离为 (A)(B)(C)(D)10如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=,BB1=2,E、F 分别为AA1、C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 .11如图1,已知ABCD是上、下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图2。ABCDOO1ABOCO1D()证明:ACBO1;()求二面角OACO1的大小。ABOCO1Dxyz 图2
4、 图1解解法一(I)证明 由题设知OAOO1,OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角,即OAOB. 故可以O为原点,OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),图3B(0,3,0),C(0,1,) O1(0,0,). 从而所以ACBO1. (II)解:因为所以BO1OC,由(I)ACBO1,所以BO1平面OAC,是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量,由 得. 设二面角OACO1的大小为,由、的方向可知,所以cos,=ABOCO1D即二面角OACO1的大小是解法二(I)证明 由题设知OAOO1,OBO
5、O1, 所以AOB是所折成的直二面角的平面角,即OAOB. 从而AO平面OBCO1,OC是AC在面OBCO1内的射影.图4因为 ,所以OO1B=60,O1OC=30,从而OCBO1由三垂线定理得ACBO1.(II)解 由(I)ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC.设OCO1B=E,过点E作EFAC于F,连结O1F(如图4),则EF是O1F在平面AOC内的射影,由三垂线定理得O1FAC.所以O1FE是二面角OACO1的平面角. 由题设知OA=3,OO1=,O1C=1,所以,从而,又O1E=OO1sin30=,所以 即二面角OACO1的大小是12在三棱锥SABC中,ABC是边长为4的正三角形
6、,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.()证明:ACSB;()求二面角NCMB的大小;()求点B到平面CMN的距离.解:本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.解法一:()取AC中点D,连结SD、DB.SA=SC,AB=BC,ACSD且ACBD,AC平面SDB,又SB平面SDB,ACSB.()AC平面SDB,AC平面ABC,平面SDB平面ABC.过N作NEBD于E,NE平面ABC,过E作EFCM于F,连结NF,则NFCM.NFE为二面角NCMB的平面角.平面SAC平面ABC,SDAC,SD平面ABC
7、. 又NE平面ABC,NESD.SN=NB,NE=SD=,且ED=EB.在正ABC中,由平几知识可求得EF=MB=,在RtNEF中,tanNFE=2,二面角NCMB的大小是arctan2.()在RtNEF中,NF=,SCMN=CMNF=,SCMB=BMCM=2.设点B到平面CMN的距离为h,VB-CMN=VN-CMB,NE平面CMB,SCMNh=SCMBNE,h=.即点B到平面CMN的距离为.解法二:()取AC中点O,连结OS、OB.SA=SC,AB=BC,ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面 ABC=ACSO面ABC,SOBO.如图所示建立空间直角坐标系Oxyz.则A(2
8、,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),S(0,0,2),M(1,0),N(0,).=(4,0,0),=(0,2,2),=(4,0,0)(0,2,2)=0,ACSB.()由()得=(3,0),=(1,0,).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, n=3x+y=0,则 取z=1,则x=,y=-,n=x+z=0,n=(,1),又=(0,0,2)为平面ABC的一个法向量, cos(n,)=.二面角NCMB的大小为arccos.()由()()得=(1,0),n=(,1)为平面CMN的一个法向量,点B到平面CMN的距离d=.13如图,在长方体中,、分别是棱,上的点,,(1) 求异面直线
9、与所成角的余弦值;(2) 证明平面(3) 求二面角的正弦值。解:本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,设,依题意得,(1) 解:易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为(2) 证明:已知,于是=0,=0.因此,,又所以平面(3)解:设平面的法向量,则,即不妨令X=1,可得。由(2)可知,为平面的一个法向量。于是,从而所以二面角的正弦值为方法二:(1)解:设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=链接B1C,BC1,设B1
10、C与BC1交于点M,易知A1DB1C,由,可知EFBC1.故是异面直线EF与A1D所成的角,易知BM=CM=,所以 ,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为(2)证明:连接AC,设AC与DE交点N 因为,所以,从而,又由于,所以,故ACDE,又因为CC1DE且,所以DE平面ACF,从而AFDE.连接BF,同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C,所以AFA1D因为,所以AF平面A1ED(3)解:连接A1N.FN,由(2)可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角易知,所以,又所以,在连接A1C1,A1F 在。所以所以二
11、面角A1-DE-F正弦值为14如图,在三棱锥PABC中,ABBC,ABBCkPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP底面ABC(I)求证:平面; (II)当k时,求直线PA与平面PBC所成角的大小; (III) 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心?本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力解:方法一:() O、D分别为AC、PC中点, (),又,PA与平面PBC所成的角的大小等于,()由()知,F是O在平面PBC内的射影D是PC的中点,若点F是的重心,则B,F,D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,即反之,当
12、时,三棱锥为正三棱锥,O在平面PBC内的射影为的重心方法二:,以O为原点,射线OP为非负z轴,建立空间直角坐标系(如图)设则,设,则()D为PC的中点,又,(),即,可求得平面PBC的法向量,设PA与平面PBC所成的角为,则,()的重心,又,即,反之,当时,三棱锥为正三棱锥,O在平面PBC内的射影为的重心15如图,在长方体ABCDA1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AD上移动. (1)证明:D1EA1D; (2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离; (3)AE等于何值时,二面角D1ECD的大小为.解:解法(一)(1)证明:AE平面AA1DD1,A1DAD1,A1DD1E(2)设点E到面ACD1的距离为h,在ACD1中,AC=CD1=,AD1=,故(3)过D作DHCE于H,连D1H、DE,则D1HCE, DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x,则BE=2x解法(二):以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)(1)(2)因为E为AB的中点,则E(1,1,0),从而,设平面ACD1的法向量为,则也即,得,从而,所以点E到平面AD1C的距离为(3)设平面D1EC的法向量,由 令b=1, c=2,a=2x,