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1、水平面内圆周运动的临界问题1如图所示，半径为 R 的圆筒绕竖直中心轴 OO 转动，小物块 A 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为 ，现要使 A 不下落，则圆筒转动的角速度 至少为 （ D ） A B C D2如图所示，OO为竖直轴，MN为固定在OO上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，AC和BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO上当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为21，当转轴的角速度逐渐增大时 （ ）AAC先断 BBC先断C两线同时断 D不能确定哪根线先断A；对A球进行受力分析，A球受重力、支持力、拉力FA三个力作用，拉力的分力提供A球做圆周运动的向心力
2、，得：水平方向FAcosmrA2，同理，对B球：FBcosmrB2，由几何关系，可知cos，cos. 所以：. 由于ACBC，所以FAFB，即绳AC先断3 在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同A的质量为2m，B、C各为mA、B离转轴均为r，C为2r则 A若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大B若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小C当转台转速增加时，C最先发生滑动D当转台转速继续增加时，A比B先滑动【分析】A、 B、 C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为根据向心加速度的公式an=2r
3、，已知rA=rBrC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aBaCA错三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=m2r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fA=mA2rA=2m2r，fB=mB2rB=m2r，fC=mc2rc =m22r=2m2r即物体B所受静摩擦力最小B正确由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为，静摩擦力的最大值可认为是fm=mg由fm=Fn，即得不发生滑动的最大角速度为即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小由于rCrA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动转速继续增加时，物体A、B将同时发生
4、滑动C正确，D错【答】B、C4 如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2，当圆锥和球一起以角速度匀速转动时，球压紧锥面此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？ 【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。 【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有Tsin-Ncos=m2r y方向上应有Nsin+Tcos-G=0 r = Lsin 由、式可得T = mgcos+m2Lsin当小球刚好离开锥面时N=0
5、（临界条件）则有Tsin=m2r Tcos-G=0 【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程， 【例题】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g10ms-2）（1）当竖直杆以的角速度匀速转动时，O2A线刚好伸直且不受拉力求此时角速度1（2）当O1A线所受力为100N时，求此时的角速度2【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。【解】
6、（1）当O2A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。则F1cos=mg F1sin=mR12 由几何知识知R=2.4m =37代入式1=1.77（rad/s）（2）当O1A受力为100N时，由（1）式F1cos=1000.8=80（N）mg由此知O2A受拉力F2。则对A受力分析得F1cos-F2sin-mg=0 F1sin+F2cos= mR22 由式（4）（5）得【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值在这种题目中找好临界值是关键5如图所示，把一个质量m = 1 kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m，杆
7、AB长度是1.6 m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？如图所示，a、b两绳都伸直时，已知a、b绳长均为1 m，即 1 m，0.8 m；AOD中，cos0.8，sin0.6，37，小球做圆周运动的轨道半径 rsin10.6 m0.6 m.，b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力FTa的合力F为向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为 Fmgtan，根据牛顿第二定律得 Fmgtanmr2解得直杆和球的角速度为 rad/s3.5 rad/s。当直杆和球的角速度3.5 rad/s时，b中才有张力题型：有关摩擦力的临界问题6如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6
8、kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围（取g=10m/s2）解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O对于B，T=mg对于A，rad/s rad/s所以 2.9 rad/s rad/s 7 . 一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R。甲
9、、乙物体质量分别是M和m（Mm），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的倍，两物体用一根长为的轻绳连在一起。若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）A. B. C. D. 图2解析 D 乙不仅是摩擦力充当向心力，而是甲对乙的拉力以及摩擦力的合力充当向心力8.如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角1=30，2=45，g=10m/s2求：（1）当细杆转动的角速度在什么范围内，A
10、、B两绳始终张紧？（2）当=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？解析（1）当B绳恰好拉直，但TB=0时，细杆的转动角速度为1，有：TAcos30=mg 解得：1=24 rad/s当A绳恰好拉直，但TA=0时，细杆的转动角速度为2，有：解得：2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧2.4 rad/s3.15 rad/s（2）当=3 rad/s时，两绳都紧 TA=0.27 N， TB=1.09 N点评分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法9.如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为
11、500g的小球小球的初始位置在AB连线上A的一侧把细线拉直，给小球以2ms的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上 若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义对本题，还应该熟练掌握数列求和方法如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？
