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1、 高考数学专项练习及答案【八】 一、非标准 1.若数列an的首项a1=1,且an=an-1+2(n2),则a7等于() A.13 B.14 C.15 D.17 2.已知Sn为等差数列an的前n项和,a2+a8=6,则S9等于() A. B.27 C.54 D.108 3.在等差数列an中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为() A.14 B.18 C.21 D.27 4.在等差数列an中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+a9等于() A.21 B.30 C.35 D.40 5.(2022天津河西口模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使a
2、n0的最小正整数n的值是() A.8 B.9 C.10 D.11 6.(2022浙江联考)已知每项均大于零的数列an中,首项a1=1,且前n项和Sn满意Sn-Sn-1=2(nN+,且n2),则a81等于() A.638 B.639 C.640 D.641 7.若等差数列an满意a7+a8+a90,a7+a100 B.d0 D.a1d0,解得n9. 因此使an0的最小正整数n的值是10. 6.C解析:由已知Sn-Sn-1=2,可得=2, 是以1为首项,2为公差的等差数列, 故=2n-1,Sn=(2n-1)2, a81=S81-S80=1612-1592=640,应选C. 7.8解析:由等差数列的
3、性质可得a7+a8+a9=3a80,即a80;而a7+a10=a8+a90, 由等差数列的性质,得a2+a5=a3+a4=22, 所以a3,a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解, 所以a3=9,a4=13. 易知a1=1,d=4,故所求通项为an=1+(n-1)4=4n-3. (2)由(1)知Sn=2n2-n, 所以bn=. (方法一)所以b1=,b2=,b3=(c0). 令2b2=b1+b3,解得c=-. 当c=-时,bn=2n, 当n2时,bn-bn-1=2. 故当c=-时,数列bn为等差数列. (方法二)bn=. c0,可令c=-,得到bn=2n. bn+1-bn=2(n+1)
4、-2n=2(nN+), 数列bn是公差为2的等差数列. 故存在一个非零常数c=-,使数列bn也为等差数列. 10.解:(1)由题设,anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1, 两式相减,得an+1(an+2-an)=an+1. 由于an+10,所以an+2-an=. (2)由题设,a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1. 由(1)知,a3=+1. 令2a2=a1+a3,解得=4. 故an+2-an=4. 由此可得a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2.
5、因此存在=4,使得数列an为等差数列. 11.D解析:为递减数列, =1. a1d0.应选D. 12.B解析:易得Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80. 又S4=a1+a2+a3+a4=40, 所以4(a1+an)=120,a1+an=30. 由Sn=210,得n=14. 13.B解析:a1=19,an+1-an=-3, 数列an是以19为首项,-3为公差的等差数列. an=19+(n-1)(-3)=22-3n. 设an的前k项和数值, 则有kN+. k. kN+,k=7. 满意条件的n的值为7. 14.解析:由于2(nN+,n2), 所以数列是以=1为首项,以d=4-1=
6、3为公差的等差数列. 所以=1+3(n-1)=3n-2. 所以an=,n1. 所以a7=. 15.(1)证明:当n=1时,有2a1=+1-4,即-2a1-3=0, 解得a1=3(a1=-1舍去). 当n2时,有2Sn-1=+n-5. 又2Sn=+n-4, 两式相减得2an=+1, 即-2an+1=, 也即(an-1)2=,因此an-1=an-1或an-1=-an-1. 若an-1=-an-1,则an+an-1=1. 而a1=3,所以a2=-2,这与数列an的各项均为正数相冲突, 所以an-1=an-1,即an-an-1=1. 因此,数列an为首项为3,公差为1的等差数列. (2)解:由(1)知a1=3,d=1,所以数列an的通项公式an=3+(n-1)1=n+2,即an=n+2. 16.(1)证明:由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(nN+). 当n2时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 即an-an-1=4, 故数列an是以1为首项,4为公差的等差数列. 于是,an=4n-3,Sn=2n2-n(nN+). (2)解:由(1),得=2n-1(nN+). 又S1+-(n-1)2=1+3+5+7+(2n-1)-(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1. 令2n-1=2022,得n=1008, 即存在满意条件的自然数n=1008.
