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1、2012年上海市兰生复旦中学理科班教程：整除4一、解答题（共13小题）1设p，q，r都是质数，并且p+qr，pq求p2将37拆成若干个不相同质数之和，有多少种不相同的拆法？将每一种拆法中拆出的哪些质数相乘，所得的最小乘积是多少？3正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面上所写的两数之和都相等若18对面所写的质数为a，14对面所写的质数为b，35对面所写的质数为c，求a+b+c4有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积其中有三个数不是1，而是三个不相同的质数那么，这样的三个质数是、5有4个学生，年龄恰好是一个比一个大，而他们年龄乘积是5040，问他们的年龄分别是多少？6小麦家的电话是
2、七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位是前三位的10倍请问小麦家的电话号码是多少？7有一个自然数，它有8个约数，这个数最小是多少？48已知1176ab，a，b为正整数，求a的最小值9设a，b，c，d是正整数，且2222证明：a+b+c+d是合数a+bc+d10已知a，b，c是质数，满足babc+a2000，求a，b，c11求出p，p+10，p+14都是质数的所有p12设p3，且p与p+2n都是质数求证：p+2n+1为合数，n为正整数13（1）设p是质数，p3求证：24|p21（2）设c不能够被质数的平方整除，且22a|bc，求证：a|b第1页（共8页）2012年上海市兰生复旦中学理
3、科班教程：整除4参照答案与试题解析一、解答题（共13小题）1设p，q，r都是质数，并且p+qr，pq求p【解析】先依照已知条件判断出r是奇数，再依照p+qr可判断出p，q为一奇一偶，依照在所有偶数中只有2是质数可求出答案【解答】解：rp+q， r不是最小的质数，进而r是奇数， p，q为一奇一偶， pq， p既是质数又是偶数， p2故答案为：2【谈论】此题观察的是质数与合数、奇数与偶数的定义，解答此类题目时要注意在所有偶数中只有2是质数这一特点2将37拆成若干个不相同质数之和，有多少种不相同的拆法？将每一种拆法中拆出的哪些质数相乘，所得的最小乘积是多少？【解析】列举将37拆成若干个不相同的质数之
4、和的式子，要点要掌握好不重不漏，为此要选择一种序次我们第一将小于37的质数，由小到大排列出来：（共11个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，利用2+3+5+7+1137，而2+3+5+7+11+1337因此最多拆成5个不相同质数之和但由于37是奇数，拆掉的5个不相同质数中不能够有偶质数2，即可得出最多拆成4个不相同质数之和，为此，依照被拆出的最大质数从大到小依次研究，进而得出答案即可【解答】解：第一将小于37的质数，由小到大排列出来：（共11个）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，由于2+3+5+7+1137，而2+3+5+7+11+1337因此最
5、多拆成5个不相同质数之和但由于37是奇数，拆掉的5个不相同质数中不能够有偶质数2，否则其他4个奇质数之和为偶数，这5个质数和为偶数，不能能等于奇数37，而3+5+7+11+133937因此最多拆成4个不相同质数之和，为此，我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究：第2页（共8页）（ 1）3731+6（6不能够用2，3，5相加获取）；（ 2）3729+829+5+3，只有一种拆法；（ 3）3723+14共有两种拆法， 3723+11+3；3723+7+5+2；（ 4）3719+18，而1813+513+3+211+711+5+2，因此共有四种拆法， 3719+13+5；3719+13+3+2；3
6、719+11+7；3719+11+5+2；（5）3717+20，而2013+713+5+211+7+2，因此有三种拆法， 3717+13+7；3717+13+5+2；3717+11+7+2综合以上能够获取10种不相同的拆法，将37拆成若干个不相同的质数之和，使得这些质数的乘积尽可能小，则能够把37分成：3729+5+3，它们的积为其中最小乘积的是：2953435【谈论】此题主要观察了质数的性质以及数的整除性，依照题干解析数字特点，进而找出各种数字组合，尔后找出最适合的一种是解题要点3正方体纸盒的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面上所写的两数之和都相等若18对面所写的质数为a，14对面所写
7、的质数为b，35对面所写的质数为c，求a+b+c【解析】依照相对的两个面的数字和相等，得18+a14+b35+c，则，依照a，b，c都是质数，可得c2，解方程组求得a，b，c，再代入进行求解【解答】解：依题意有18+a14+b35+c，则，a，b，c都是质数， c2，则 a19，c23，则 a+b+c19+23+244【谈论】此题观察了质数与合数，正方体相对两个面上的文字，解答此题的要点是获取ba，bc，ac的值后求得c2是解题的要点4有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积其中有三个数不是1，而是三个不相同的质数那么，这样的三个质数是5、7、59第3页（共8页）【解析】1997个奇数，其中只
8、有三个不相同的质数并且不是1，那说明其他1994个数都是1，其中的三个我们能够设为a，b，c依照他们的和等于积的条件，能够得出等式：1994+a+b+cabc（注意：1994个1相乘是1994），尔后据此分别谈论即可【解答】解：据题意可知：1994+a+b+cabc；由于11131724311997，因此这3个质数中的最小数必然小于11当 a3，b5时，15cc+2002，c143，不是质数；当a3，b7时，21cc+2004，c不是整数；当 a5，b7时，35cc+2006，c59，满足条件；故答案为：5、7、59【谈论】此题观察了质数与合数，完成此题要据已知条件列出等式，尔后试着算下5有4
9、个学生，年龄恰好是一个比一个大，而他们年龄乘积是5040，问他们的年龄分别是多少？【解析】依照题意，有4个学生，年龄恰好是一个比一个大，也就是它们的年龄是4个连续的自然数，又知道他们年龄乘积是5040，依照合数分解质因数的方法，把5040分解质因数，再把这些质因数适合调整凑成4个连续的自然数即可【解答】解：把5040分解质因数：504022223357；其中2228，339，2510；答：它们的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁【谈论】观察了质因数分解，此题的解答第一明确自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，再依照合数分解质因数的方法解决问题6小麦家的电话是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，
10、这个积的末四位是前三位的10倍请问小麦家的电话号码是多少？【解析】先由所求七位数的尾端四位数是前三位数的10倍，得出它的个位数字是0，能够被2整除，再由这个七位数是几个连续质数的乘积，且2是最小的质数，并且是唯一的偶质数，得出这个七位数是从2开始的连续质数的乘积，尔后用计算器进行研究，发现乘到19时就获取需要的结果【解答】解：所求七位数的尾端四位数是前三位数的10倍，这个七位数的个位数字是0，第4页（共8页）这个七位数是偶数，能够被2整除，又这个七位数是几个连续质数的乘积，且2是最小的质数，并且是唯一的偶质数，这个七位数是从2开始的连续质数的乘积，这几个质数是23571113171996996
11、90故小麦家的电话号码是9699690【谈论】此题观察了数的整除性问题，属于竞赛题型，难度较大，能够依照条件得出所求数是从2开始的连续质数的乘积，是解题的要点7有一个自然数，它有8个约数，这个数最小是多少？【解析】第一是1和最小的两个质数2，3，接下来422，623，因此123212有5个约数，进而得出24有8个约数【解答】解：第一是1和最小的两个质数2，3，接下来422，623，因此123212有5个约数， 8222，12223，242223，12224有8个约数答：这个数最小是24【谈论】此题主要观察了约数与倍数，解答此题应依照这8个不相同的约数的最小值进行解答4，a，b为正整数，求a的最
12、小值8已知1176ab【解析】先将1176分解质因数，再将其凑成4次方，即可获取a的最小值【解答】解：由于117623372，凑成4次方，则 a最小是233722646故a的最小值是2646【谈论】此题观察了分解质因数，将几个质因数凑成4次方，注意掌握其中的技巧9设a，b，c，d是正整数，且2222证明：a+b+c+d是合数a+bc+d【解析】依照a与a2的奇偶性相同即可作出判断2222【解答】证明：a+b与a+b同奇偶，c+d与c+d同奇偶，2222又a+bc+d，2222a+b和c+d同奇偶a+b与c+d同奇偶，因此a+b+c+d是偶数，且a+b+c+d4，a+b+c+d必然是合数第5页（共8页）【谈论】此题主要观察了整数的奇偶性，a与a2的奇偶性相同，注意：偶数未必都是合数，因此a+b+c+d4在此题中是不能够缺少的b10已知a，b，c是质数，满足abc+a2000，求a，b，c【解析】先经过变形获取a（bbc+1）2000，2000只能被质数2或5整除，尔后谈论：bb当a2时，bc+11000；当a
