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1、“复式双曲线”型问题探究 对在同一直角坐标系中的两条不同的双曲线，我们定义为“复式双曲线”，以“复式双曲线”为载体的试题，形式新颖，结构独特，融入丰富的数学知识和数学思想，着重对思维能力、探究能力的考查本文从近两年的中考试题中采撷几例，从不同角度人手，归纳出这类问题的解题策略，以飨读者 一、求规则图形的面积例1 如图1，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为_解析 根据反比例函数y（k0）系数k的几何意义，得SPOA42SBOA21 由图象，可知 SPOBSPOASBOA211， 进行计算即可 点评 本题考查了反比
2、例函数y(k0)系数k的几何意义：从反比例函数y（k0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 例2 如图2，点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，且ABx轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为( )来源:Z|xx|k.Com解析 如图2过A点作AEy轴，垂足为E，分别由点A在双曲线y上，点B在双曲线y上，得四边形AEOD的面积为1，四边形BEOC的面积为3，四边形ABCD 为的面积为312故答案为：2点评 反比例函数y中k的几何意义，是各类测试中经常考查的一个知识点这里体现了数形结合的重要思想，解决此类问题一定要正确理解上述k的几何意义 例3 如图
3、3，点A是反比例函数y(x0)的图象上任意一点，ABx轴，交反比例函数y的图象于点B，以AB为边作ABCD，其中C、D在x轴上，则SABCD为 ( )(A)2(B)3(C)4(D)5 解析 设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b 把yb代入y，得b， 则x，即A的横坐标是； 同理可得B的横坐标是 则AB（）， SABCDb5，故选D 点评 本题巧妙地与平行四边形的面积结合在一起，考察了反比例函数的面积不变性问题，在计算面积时同样要注意系数k的几何意义 二、求不规则图形的面积例4 如图4，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PCx轴于点C，交C2于点A，PDy轴
4、于点D，交C1于点B，则四边形PAOB的面积为( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析 连结OP由反比例函数系数k的几何意义，可求出OPC及OAC的面积分别为3和，进而可得出OPA的面积为3 同理，OPB的面积也是，所以四边形PAOB的面积为5，故选A 点评 本题考查的也是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数y（k0）图象上的点与坐标轴所围成的三角形的面积为 三、利用面积求反比例函数系数k的值 例5 如图5，平行四边形ABCD的顶点为A、G在双曲线y1上，B、D在双曲线y2上，k12k2（k10），ABy轴，SABCD24，则k2_ 解析 利用平行四边形的性质设A(x，y1)、B
5、（x、y2），根据反比例函数的图象关于原点对称的性质，可知C(x，y1)、D(x、y2) 然后，由反比例函数图象上点的坐标特征，将点A、B的坐标分别代入它们所在的函数图象的解析式，求得y12y2 最后，根据SABCD 24 可以求得k2y2x4 点评 本题是一道关于反比例函数的综合题解决本题的关键是，根据反比例函数的图象关于原点对称的性质，求得点A与点B的纵坐标的数量关系，这也是解答此题的难点 四、数形结合思想的综合应用来源:学.科.网例6 如图6，在函数y1（x0)的图象上，分别有A、B两点，若ABx轴，交y轴于点C，来源:Z_xx_k.Com且OAOB，SAOC，SBOC，则线段AB的长度
6、_解析 根据反比例函数y(k0)系数k的几何意义，易得两反比例解析式为 点评 本题在考查反比例函数中系数k的几何意义，同时需要利用相似三角形的性质求得待定字母的值例7 如图7，在平面直角坐标系中，AOB90，OAB30，反比例函数y1的图象经过点A，反比例函数y2的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是( )(A)(B) (C) (D) 解析 过点B作BEx轴于点E，过点A作AFx轴于点F设点B坐标为（a，），点A的坐标为（b，），证明BOEOAF，利用对应边成比例，得来源:Z,xx,k.Com 故可得m3n，所以选A来源:学.科.网 点评 本题考查了反比例函数的相关知识以及几何知识解答本题的关键是结合解析式设出点A、B点的坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，再利用相似三角形的性质建立m、n之间的关系式，难度较大反比例函数最重要的知识点，便是系数k的几何意义，“复式双曲线”型试题只不过将两个不同的双曲线置于同一个直角坐标系中，我们在解题时不能被题目的复杂表象所迷惑，其实解题思路、方法并没有改变，仅仅是形式上有所变化而已
