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1、一道导数题突破的过程红安县大赵家高中：倪问1问题缘起最近复习函数与导数，笔者给学生做了一道调研试卷的压轴题，效果不是特别理想，很多学生做 对第一问，第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时，方法是否得当，常常是问题能否顺利 解决的关键所在。 在解题时学生一般从条件出发，观察试验，向前推进，但经常是阻碍重重， 失去方向,只能望题兴叹。如何进行有效的引导，教会学生突破导数的压轴题呢？笔者在教学中发现，应在方法的 突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。例题 已知定义在实数集 R上的偶函数f (x)的最小值为3，且当x _ 0时，f (x) = 3ex - a( a为常数
2、)(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最大的整数 m(m 1)，使得存在实数t，对任意的X，1,m，都有f (x t) 3ex.本题难度接近高考，考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能，第一问较简单，第二问和不等 式结合且字母较多，再加上“存在”和“任意”的表述，难度较大。如何突破，教学过程如下。 2教学片段2.1 经历了思维的困境，对方法进行反思教师出示问题，请同学快速做答，因为第一问较容易，学生很快完成，但第二问明显卡壳，推进缓 慢，教师巡视。师：(十五分钟后)大部分同学都有了自己的想法，但能成功解决的并不多，现在请大家谈谈自己 的想法和做法。生1：第一问我很快得出结果，过程如下：(1
3、)因为y =ex是增函数，所以当 x 0时，f(x)也是增函数.又因为f (x)是偶函数，所以f (x)mhl二f(0) = 3 a，又f(x)最小值是3，故3，a=3, a = 0.当 x : 0 时，因为-x 0，所以 f (x) = f (-x) = 3e综上知，讣汽03e , x 0师：很好，即使是压轴题，第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢？生1 ：第二问我尝试特殊化，将端点代入f (1 ti 3e得到一些不等关系，过程如下:(2)因为 x 1,m时，有 f(x t)乞 3ex，故 f(1 t)乞 3e.当 1 t -0 时，3e1 1 3e，e1 f e，1 t 1， 一 1
4、 乞 t 乞 0 ； 当1 t 0时，同理可得，一2乞t ： -1 ；从而- 2乞t乞0. 同样地，由f(m t3e m及m_2，得乞雪.e由t的存在性知，上述关于 t的不等式在区间-2,0上必有解.到这里我就不知道怎么解决了。1 一样无师：巡视过程中我发现很多同学用这种方法，都是取两个端点代入，但大部分同学都和生 法继续突破，那么就用这种方法，如何有效突破难点呢？请大家继续思考！2.2 解法突破的过程 2.2.1导数开路，零点帮忙，巧渡难关过了十分钟，有同学举手。生2：我也是用生1的方法，得到关于t的不等式空黑在区间-2,0上必有解.e因为er在区间-2,0上的最小值为e2，所以e，即em
5、-e3 m空0e令 g(x) =ex -e3x,x 2,：)，则 g (x) = ex -e3，由 g (x) = 0，得 x = 3.当2空x ： 3时，g (x) ： 0， g(x)是减函数；当x 3时，g (x) 0， g(x)是增函数；故g(x)的最小值是g(3) = -2e3 : 0又 g (2) = -e2 (1 一 2e) : 0， g(4)二 e3 (e - 4) ： 0，而 g (5) = e3 (e2 - 5)0由此可见，方程 g(x) =0在区间2：)上有唯一解 m(4,5)，且当2乞x乞m时，g(x)乞0 ；当xm()时，g (x) 0.即在x 2, ：)时满足不等式的
6、最大实数解是m0.而当 t - -2, x 1, m0时，f (x - 2) -3ex = 3e( x)，在1,2时，因为二e1乞1，所以f(x-2) -3ex乞0 ；33在 x (2,m0时，f (x-2) -3ex = 3e(ex - x) 2(exe3x)亍 g(x)_0.ee综上所述，m的最大整数值是4.师：很好！生2构造函数，然后利用导数求最值，结合零点定理逐步缩小并确定m的值。这种突破的方法在函数与导数的综合题中经常用到，希望同学们能熟练掌握！2.2.2 先猜后证，正反结合，旗开得胜生3:我感觉整数 m的值不会太大，所以我通过特殊值先猜出m的值为4,再进行证明，非常高兴我成功了！过
7、程如下：满足条件的最大整数 m为4 .先证m =4符合题意，取 t 2,当 x 1,2时，因为 f(x-2) =3ex 絃=3e2* 乞 3e, 3ex 一 3e，所以 f(x-2) _3ex ；当 x (2,4时，f (x t) - 3ex 二 f (x - 2) - 3ex 二 3e(ex -x) 2(ex - e3x)，e令 g(x)二 ex e3x，则 g (x)二 ex e3，由 g (x) =0，得 x = 3.当2乞x：3时，g (x) 0， g(x)是减函数；当3 ： x空4时，g (x) 0， g(x)是增函数；故g(x)的最大值是g(2)和g中的较大者因为 g -e2 (1
8、 2e) : 0 , g(4)二 e3(e 4) ： 0，故 g (x) : 0 ,即当 x 二(2,4时，f (x t)-3ex ： 0.再证m _5时不符合题意，因为不等式f(xt)_3ex对x =1成立，所以必有t2,0,因为 f (5 t) -15e =3e(e4 d -5) _3e(e4 e，-5) . 0，所以 f (5 t) . 15e，这说明x =5时f (xt)乞3ex不成立.综上所述，m的最大整数值是4.师：生3的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解，有时我们可以先猜后证，这样我们相当于先得 到结果，这样就占据了主动，目标就十分明确，更加有信心完全解决问题。对于一些较难问题，
9、这种突 破方法屡见不鲜，应加以足够的重视！2.2.3 恒等变形，变量分离，出奇制胜生4:我通过变形转化为非常基本的问题，更加简捷易懂。由(1)得到f(X)珂3ex,x _ 03e, x 0我想这不就是绝对值函数吗，得到f (x) = 3x代入f(x+t)兰3ex得到3xF 3ex，由题 3eF 3ex对 x- 1,m恒成立，即 x+t 兰1+1 nx所以一1 In x 乞 x t 乞 1 In x，-1-1 n x -x 乞 t 乞 1 In x -x .1令 ga)1nx-x，g (x)1 0，所以 g(x)max 二 g(1) = 一2 ；x1令 h(x) =1 In x - x， h (
10、x)1 咗0， h(x) min = h(m) = 1 In m - m，x要使t存在，只要-21 In m - m，即In m - m 3 _ 0 .1令k(m) =ln m - m 3，则k (m)1 0，所以k(m)在(1/ :)上为单调减函数，m且 k(3)=ln3 0,k(4)=ln 410,k(5)=ln 5 - 2 ： 0 .所以满足条件的最大整数m的值为4.师：十分精彩！生4的做法简捷明了，既避免了分类讨论，又将这一较难问题转化成十分基本的问 题。关注细节的变化，威力往往是巨大的，难点的突破显得那么自然，那么通俗易懂，这是我们突破难 点的非常高的境界。3教后反思：面对具体问题，
11、特别是压轴题，学生本身潜意识就有一点恐惧的心理，教师要灵活选择教学方式， 舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程，分析其思维受阻原因及对策，发现不足，扬长避短。较难问题往往不止一种解法，高考试卷的压轴题经常有十种左右的解法，每一种解法都是一个思维 的结果，然而教师往往忽视思维形成的过程，学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者，并没有切身的 体会，思维能力没有得到真正的提高。教师应引导学生进行解题后的反思，不仅能有效地帮助学生巩固知识、技能，而且对提高学生思维品质有特殊功效。反思的内容主要有：（ 1）解题涉及的知识方法有哪些？它们之间有何联系？解题过程能否简化？解题方法能否优化？哪些步骤上容易发生错误？原因何 在？如何防止？（ 2）解题时用了哪些思维方法？解法是如何分析而来的？解法是否具有普遍意义？有 何规律？（ 3）解决问题的关键何在？如何进行突破？是否还有其他不同的解法？在找到多种解法的前 提下，哪种方法最优？最合理？其中的道理是什么？（4）在解题过程中最初遇到哪些困难？后来又是如何解决的？相信通过这样的思考，学生的能力一定会得到很大的提高。#
