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1、一道导数题突破的过程红安县大赵家高中:倪问1问题缘起最近复习函数与导数,笔者给学生做了一道调研试卷的压轴题,效果不是特别理想,很多学生做 对第一问,第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时,方法是否得当,常常是问题能否顺利 解决的关键所在。 在解题时学生一般从条件出发,观察试验,向前推进,但经常是阻碍重重, 失去方向,只能望题兴叹。如何进行有效的引导,教会学生突破导数的压轴题呢?笔者在教学中发现,应在方法的 突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。例题 已知定义在实数集 R上的偶函数f (x)的最小值为3,且当x _ 0时,f (x) = 3ex - a( a为常数
2、)(1)求函数f(x)的解析式;(2)求最大的整数 m(m 1),使得存在实数t,对任意的X,1,m,都有f (x t) 3ex.本题难度接近高考,考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能,第一问较简单,第二问和不等 式结合且字母较多,再加上“存在”和“任意”的表述,难度较大。如何突破,教学过程如下。 2教学片段2.1 经历了思维的困境,对方法进行反思教师出示问题,请同学快速做答,因为第一问较容易,学生很快完成,但第二问明显卡壳,推进缓 慢,教师巡视。师:(十五分钟后)大部分同学都有了自己的想法,但能成功解决的并不多,现在请大家谈谈自己 的想法和做法。生1:第一问我很快得出结果,过程如下:(1
3、)因为y =ex是增函数,所以当 x 0时,f(x)也是增函数.又因为f (x)是偶函数,所以f (x)mhl二f(0) = 3 a,又f(x)最小值是3,故3,a=3, a = 0.当 x : 0 时,因为-x 0,所以 f (x) = f (-x) = 3e综上知,讣汽03e , x 0师:很好,即使是压轴题,第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢?生1 :第二问我尝试特殊化,将端点代入f (1 ti 3e得到一些不等关系,过程如下:(2)因为 x 1,m时,有 f(x t)乞 3ex,故 f(1 t)乞 3e.当 1 t -0 时,3e1 1 3e,e1 f e,1 t 1, 一 1
4、 乞 t 乞 0 ; 当1 t 0时,同理可得,一2乞t : -1 ;从而- 2乞t乞0. 同样地,由f(m t3e m及m_2,得乞雪.e由t的存在性知,上述关于 t的不等式在区间-2,0上必有解.到这里我就不知道怎么解决了。1 一样无师:巡视过程中我发现很多同学用这种方法,都是取两个端点代入,但大部分同学都和生 法继续突破,那么就用这种方法,如何有效突破难点呢?请大家继续思考!2.2 解法突破的过程 2.2.1导数开路,零点帮忙,巧渡难关过了十分钟,有同学举手。生2:我也是用生1的方法,得到关于t的不等式空黑在区间-2,0上必有解.e因为er在区间-2,0上的最小值为e2,所以e,即em
5、-e3 m空0e令 g(x) =ex -e3x,x 2,:),则 g (x) = ex -e3,由 g (x) = 0,得 x = 3.当2空x : 3时,g (x) : 0, g(x)是减函数;当x 3时,g (x) 0, g(x)是增函数;故g(x)的最小值是g(3) = -2e3 : 0又 g (2) = -e2 (1 一 2e) : 0, g(4)二 e3 (e - 4) : 0,而 g (5) = e3 (e2 - 5)0由此可见,方程 g(x) =0在区间2:)上有唯一解 m(4,5),且当2乞x乞m时,g(x)乞0 ;当xm()时,g (x) 0.即在x 2, :)时满足不等式的
6、最大实数解是m0.而当 t - -2, x 1, m0时,f (x - 2) -3ex = 3e( x),在1,2时,因为二e1乞1,所以f(x-2) -3ex乞0 ;33在 x (2,m0时,f (x-2) -3ex = 3e(ex - x) 2(exe3x)亍 g(x)_0.ee综上所述,m的最大整数值是4.师:很好!生2构造函数,然后利用导数求最值,结合零点定理逐步缩小并确定m的值。这种突破的方法在函数与导数的综合题中经常用到,希望同学们能熟练掌握!2.2.2 先猜后证,正反结合,旗开得胜生3:我感觉整数 m的值不会太大,所以我通过特殊值先猜出m的值为4,再进行证明,非常高兴我成功了!过
7、程如下:满足条件的最大整数 m为4 .先证m =4符合题意,取 t 2,当 x 1,2时,因为 f(x-2) =3ex 絃=3e2* 乞 3e, 3ex 一 3e,所以 f(x-2) _3ex ;当 x (2,4时,f (x t) - 3ex 二 f (x - 2) - 3ex 二 3e(ex -x) 2(ex - e3x),e令 g(x)二 ex e3x,则 g (x)二 ex e3,由 g (x) =0,得 x = 3.当2乞x:3时,g (x) 0, g(x)是减函数;当3 : x空4时,g (x) 0, g(x)是增函数;故g(x)的最大值是g(2)和g中的较大者因为 g -e2 (1
8、 2e) : 0 , g(4)二 e3(e 4) : 0,故 g (x) : 0 ,即当 x 二(2,4时,f (x t)-3ex : 0.再证m _5时不符合题意,因为不等式f(xt)_3ex对x =1成立,所以必有t2,0,因为 f (5 t) -15e =3e(e4 d -5) _3e(e4 e,-5) . 0,所以 f (5 t) . 15e,这说明x =5时f (xt)乞3ex不成立.综上所述,m的最大整数值是4.师:生3的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解,有时我们可以先猜后证,这样我们相当于先得 到结果,这样就占据了主动,目标就十分明确,更加有信心完全解决问题。对于一些较难问题,
9、这种突 破方法屡见不鲜,应加以足够的重视!2.2.3 恒等变形,变量分离,出奇制胜生4:我通过变形转化为非常基本的问题,更加简捷易懂。由(1)得到f(X)珂3ex,x _ 03e, x 0我想这不就是绝对值函数吗,得到f (x) = 3x代入f(x+t)兰3ex得到3xF 3ex,由题 3eF 3ex对 x- 1,m恒成立,即 x+t 兰1+1 nx所以一1 In x 乞 x t 乞 1 In x,-1-1 n x -x 乞 t 乞 1 In x -x .1令 ga)1nx-x,g (x)1 0,所以 g(x)max 二 g(1) = 一2 ;x1令 h(x) =1 In x - x, h (
10、x)1 咗0, h(x) min = h(m) = 1 In m - m,x要使t存在,只要-21 In m - m,即In m - m 3 _ 0 .1令k(m) =ln m - m 3,则k (m)1 0,所以k(m)在(1/ :)上为单调减函数,m且 k(3)=ln3 0,k(4)=ln 410,k(5)=ln 5 - 2 : 0 .所以满足条件的最大整数m的值为4.师:十分精彩!生4的做法简捷明了,既避免了分类讨论,又将这一较难问题转化成十分基本的问 题。关注细节的变化,威力往往是巨大的,难点的突破显得那么自然,那么通俗易懂,这是我们突破难 点的非常高的境界。3教后反思:面对具体问题,
11、特别是压轴题,学生本身潜意识就有一点恐惧的心理,教师要灵活选择教学方式, 舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程,分析其思维受阻原因及对策,发现不足,扬长避短。较难问题往往不止一种解法,高考试卷的压轴题经常有十种左右的解法,每一种解法都是一个思维 的结果,然而教师往往忽视思维形成的过程,学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者,并没有切身的 体会,思维能力没有得到真正的提高。教师应引导学生进行解题后的反思,不仅能有效地帮助学生巩固知识、技能,而且对提高学生思维品质有特殊功效。反思的内容主要有:( 1)解题涉及的知识方法有哪些?它们之间有何联系?解题过程能否简化?解题方法能否优化?哪些步骤上容易发生错误?原因何 在?如何防止?( 2)解题时用了哪些思维方法?解法是如何分析而来的?解法是否具有普遍意义?有 何规律?( 3)解决问题的关键何在?如何进行突破?是否还有其他不同的解法?在找到多种解法的前 提下,哪种方法最优?最合理?其中的道理是什么?(4)在解题过程中最初遇到哪些困难?后来又是如何解决的?相信通过这样的思考,学生的能力一定会得到很大的提高。#