《高考数学理一轮资源库 第8章学案44》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学理一轮资源库 第8章学案44(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2019届高考数学复习资料学案44利用向量方法求空间角导学目标: 1.掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别,体会求空间角中的转化思想自主梳理1两条异面直线的夹角定义:设a,b是两条异面直线,在直线a上任取一点作直线ab,则a与a的夹角叫做a与b的夹角范围:两异面直线夹角的取值范围是_向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos _.2直线与平面的夹角定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角范围:直线和平面夹角的取值范围是_向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直
2、线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin |cos |或cos sin .3二面角(1)二面角的取值范围是_(2)二面角的向量求法:若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(如图)设n1,n2分别是二面角l的两个面,的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)自我检测1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0),n(0,1,1),则两平面所成的二面角为_2若直线l1,l2的方向向量分别为a(2,4,4),b(6,9,6),则l1与l2所成的角等于_3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线
3、l与平面所成的角等于_4二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB4,AC6,BD8,CD2,则该二面角的大小为_5(2010铁岭一模)已知直线AB、CD是异面直线,ACCD,BDCD,且AB2,CD1,则异面直线AB与CD所成的角的大小为_探究点一利用向量法求异面直线所成的角例1已知直三棱柱ABCA1B1C1,ACB90,CACBCC1,D为B1C1的中点,求异面直线BD和A1C所成角的余弦值变式迁移1如图所示,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC所成的角探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例2如图,已知
4、平面ABCD平面DCEF,M,N分别为AB,DF的中点,求直线MN与平面DCEF所成的角的正弦值变式迁移2如图所示,在几何体ABCDE中,ABC是等腰直角三角形,ABC90,BE和CD都垂直于平面ABC,且BEAB2,CD1,点F是AE的中点求AB与平面BDF所成的角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例3如图,ABCD是直角梯形,BAD90,SA平面ABCD,SABCBA1,AD,求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小变式迁移3如图,在三棱锥SABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,BAC90,O为BC中点(1)证明:SO平面ABC;(2)求二面角ASCB的余弦值探究点四综合应用例4如
5、图所示,在三棱锥ABCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD,BDCD1,另一个侧面ABC是正三角形(1)求证:ADBC;(2)求二面角BACD的余弦值;(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30角?若存在,确定点E的位置;若不存在,说明理由变式迁移4 (2011山东,19)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,ACB90,EA平面ABCD,EFAB,FGBC,EGAC,AB2EF.(1)若M是线段AD的中点,求证:GM平面ABFE;(2)若ACBC2AE,求二面角ABFC的大小1求两异面直线a、b的所成的角,需求出它们的方向向量a,b的
6、夹角,则cos |cosa,b|.2求直线l与平面所成的角.可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角则sin |cosn,a|.3求二面角l的大小,可先求出两个平面的法向量n1,n2所成的角则n1,n2或n1,n2 (满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin,的值等于_2已知长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA12,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为_3如图,在正四面体ABCD中,E、F分别是BC和AD的中点,则AE与CF所成的角的余弦值为_4(2011南通模拟) 如图所示
7、,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知B1C,C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60和45,则异面直线B1C和C1D所成的余弦值为_5P是二面角AB棱上的一点,分别在、平面上引射线PM、PN,如果BPMBPN45,MPN60,那么二面角AB的大小为_6(2011无锡模拟)已知正四棱锥PABCD的棱长都相等,侧棱PB、PD的中点分别为M、N,则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是_7如图,PA平面ABC,ACB90且PAACBCa,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_8如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所
8、成的角的正弦值为_二、解答题(共42分)9(14分) 如图所示,AF、DE分别是O、O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD8.BC是O的直径,ABAC6,OEAD.(1)求二面角BADF的大小;(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值10(14分)(2011大纲全国,19)如图,四棱锥SABCD中,ABCD,BCCD,侧面SAB为等边三角形,ABBC2,CDSD1.(1)证明:SD平面SAB;(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值11(14分)(2011湖北,18)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC1上,且不与点C重合(1)当CF1时,求证:
9、EFA1C;(2)设二面角CAFE的大小为,求tan 的最小值学案44利用向量方法求空间角答案自主梳理1|cos |2.3.(1)0,自我检测145或1352.903.304.605.60课堂活动区例1解题导引(1)求异面直线所成的角,用向量法比较简单,若用基向量法求解,则必须选好空间的一组基向量,若用坐标求解,则一定要将每个点的坐标写正确(2)用异面直线方向向量求两异面直线夹角时,应注意异面直线所成的角的范围是解如图所示,以C为原点,直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系设CACBCC12,则A1(2,0,2),C(0,0,0),B(0,2,0),D(0,1,2),(
10、0,1,2),(2,0,2),cos,.异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.变式迁移1解,()().ABBC,BB1AB,BB1BC,0,0,0,a2,a2.又|cos,cos,.,120.异面直线BA1与AC所成的角为60.例2解题导引在用向量法求直线OP与所成的角(O)时,一般有两种途径:一是直接求,其中OP为斜线OP在平面内的射影;二是通过求n,进而转化求解,其中n为平面的法向量解设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图则M(1,0,2),N(0,1,0),可得(1,1,2)又(0,0,2)为平面DCEF
11、的法向量,可得cos,.所以MN与平面DCEF所成的角的正弦值为|cos,|.变式迁移2解以点B为原点,BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1)(0,2,1),(1,2,0)设平面BDF的一个法向量为n(2,a,b),n,n,即解得a1,b2.n(2,1,2)设AB与平面BDF所成的角为,则法向量n与的夹角为,cos,即sin ,故AB与平面BDF所成的角的正弦值为.例3解题导引图中面SCD与面SBA所成的二面角没有明显的公共棱,考虑到易于建系,从而借
12、助平面的法向量来求解解建系如图,则A(0,0,0),D,C(1,1,0),B(0,1,0),S(0,0,1),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0),.0,0.是面SAB的法向量,设平面SCD的法向量为n(x,y,z),则有n0且n0.即令z1,则x2,y1.n(2,1,1)cosn,.故面SCD与面SBA所成的二面角的余弦值为.变式迁移3(1)证明由题设ABACSBSCSA.连结OA,ABC为等腰直角三角形,所以OAOBOCSA,且AOBC.又SBC为等腰三角形,故SOBC,且SOSA.从而OA2SO2SA2,所以SOA为直角三角形,SOAO.又AOBCO,所以SO平面ABC.(2)解以O为坐标原点,射线OB、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系Oxyz,如图设B(1