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1、基本不等式1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)2(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)小题体验1函数yx(x0)的值域为_答
2、案：2，)2(教材习题改编)设x，yR，且xy18，则xy的最大值为_答案：813若x，y(0，)，且x4y1，则xy的最大值是_解析：x，y(0，)，则1x4y4，即xy.答案：1使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致小题纠偏1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)当a0，b0时，()(2)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(3)x0且y0是2的充要条件()答案：(1)(2)(3)2若f(x)x(
3、x2)在xn处取得最小值，则n等于()AB3C D4答案：B典例引领已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，所以1，1，1，又x，y，z为正数，由，得8.由题悟法利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等即时应用设a，b均为正实数，求证：ab2.证明：由于a，b均为正实数，所以2 ，当且仅当，即ab时等号成立，又因为ab2 2，当且仅
4、当ab时等号成立，所以abab2，当且仅当即ab时取等号典型母题已知a0，b0，ab1，则的最小值为_解析a0，b0，ab1，222 4，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立.答案4类题通法利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值 越变越明变式1母题的条件不变，则的最小值为_解析：52549.当且仅当ab时取等号答案：9变式2母题的条件和结论互换即：已知a0，b0，4，则ab的最小值为_解析：由4，得1.ab(ab)2 1.当且仅当
5、ab时取等号答案：1变式3若母题条件变为“已知a0，b0，a2b3”，则的最小值为_解析：由a2b3得ab1，2 .当且仅当a2b时取等号答案：变式4若母题的条件变为“已知a为正实数且a21”，则a的最大值为_解析：因为a0，所以a ，又a2，所以a，当且仅当a，b时等号成立即(a)max.答案：破译玄机本题求最值利用了拼凑法，拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 变式5若母题变为：设a，b，c均为正数，满足a2b3c0，则的最小值是_解析：a2b3c0，b，3，当且仅当a3c时取“”答案：3变式6若母题变为：已知各项为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an，使得2a1，则的最小值为_解析：设公比为q(q0)，由a7a62a5a5q2a5q2a5q2q20(q0)q2.2a1a12m1a12n18a2m12n18mn23mn5，则(mn)(52)，当且仅当n2m时等号成立答案：
