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1、高中数学教案 第五章 线段的定比分点（第8课时） 课 题：线段的定比分点教学目标：1.掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；2.熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；3.理解点P分有向线段所成比的含义；4.明确点P的位置及范围的关系.教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用.教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分0还是授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。2向量加法的交换律：+=+3向量加法的结合律：(+) +=+ (+)4向量的减法
2、向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：a - b = a + (-b) 5差向量的意义： = a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。6实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10)2.定比分点坐标公式：若点P(x1,y1) ，(x2,y2)，为实数，且，则点P的坐标为（），我们称为点P分所成的比.设= 点P1, P, P2坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)，由向量的坐标运算 =(x-x1,y-y1) ，=( x2-x, y
3、2-y) = (x-x1,y-y1) =( x2-x, y2-y) 定比分点坐标公式()点P分所成的比与点P分所成的比是两个不同的比，要注意方向.3.点P的位置与的范围的关系：当时，与同向共线，这时称点P为的内分点.特别地，当时，有，即点P是线段之中点，其坐标为（）.当()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.探究：若、是直线上的两点，点P是上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使，叫做P分有向线段所成的比.而且，当点P在线段上时，；当点P在线段或21的延长线上时，.对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若，则点P为线段的内分点；(2)若，则点P为线段的外分点.一般来说，(1)是正确的，而(
4、2)却不一定正确.这是因为，当时，定比分点的坐标公式和显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在.由此可见，当点P为线段的外分点时，应有且.4.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O，设，由于，且有，所以 -a=(b-).即可得=.这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用.三、讲解范例：例1已知A(1，3)，B(，)，（，）为三角形的三个顶点，L、M、N分别是BC、CA、AB上的点，满足BLBCCMCANAAB，求L、M、N三点的坐标.分析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点L、M、N分向量、所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标.另外，要求L、M、N
5、的坐标，即求、的坐标(这里O为坐标原点)，为此，我们可借用定比分点的向量形式.下面给出第二种解法.解：（，），（，），（，），（，），（，），（，）又可得：L分，M分，N分所成的比均为（，）（-2，0）=（-，）=+ = (1,3)+ （，）（，）（，）（，）（，）（，）、（，）、（，）为所求.上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用.例2已知三点A(0，8)，B(，)，（，），点内分的比为，E点在BC边上，且使BDE的面积是ABC面积的一半，求DE中点的坐标.分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，BDE与ABC有公共顶点B，所以它们
6、的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解.解：由已知有，则得又，而sinDBE，sinABC，且DBEABC ，即得：又点E在边BC上，所以，点E分成比由定比分点坐标公式有,即（，），又由,有D（，）.记线段DE的中点为M(x,y),则 ,即M（，）为所求.四、课堂练习：1已知点A(，-)，点（，），延长AB到P，使，求点P的坐标.解：因为点P在AB上的延长线上，P为的外分点，所以，又根据，可知，由分点坐标公式易得P点的坐标为（，）2已知两点P（，），（，），求点P(，)分所成的比及的值.解：由线段的定比分点坐标公式得，解得五、小结 六、课后作业：1.已知点A分有向线段的比为2，则在下列结论
7、中错误的是（ ）A.点C分的比是-B.点C分的比是-3C.点C分的比是-D.点A分的比是22.已知两点P（，）、（，），点P（，）分有向线段所成的比为，则、的值为（ ）A.， B.， C.， D.，3.ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ ）A.(2，-7) B.(-7，2) C.(-3，-5) D.(-5，-3)4.已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x= .5.ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为 . 6.已知M为ABC边AB上的一点，且，则M分所成的比为 .7.已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P、，求、点的坐标以及A、B分所成的比8.过P（，）、（，）的直线与一次函数的图象交于点P，求P分所成的比值.9.已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标.参考答案：1.D 2.C 3.A 4.2或 5.(8,-4) 6. 7.P1(1,-2),P2(3,0),A、B分所成的比1、2分别为-,-2 8. 9.（，），（，），（，）七、板书设计（略）八、课后记： 第 1页（共7页）
