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1、7.3空间向量 配套习题【感悟高考真题】（1）（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）已知三棱锥PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（）证明：CMSN；（）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,0）.4分（）,因为，所以CMSN 6分（）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则 9分因为所以SN与片面CMN所成角为45
2、。 12分（2）（2010北京理数）（16）（本小题共14分） 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 证明：（I） 设AC与BD交与点G。 因为EF/AG，且EF=1，AG=AC=1. 所以四边形AGEF为平行四边形. 所以AF/平面EG， 因为平面BDE，AF平面BDE， 所以AF/平面BDE. （II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-. 则C（
3、0，0，0），A（，0），B（0，0）. 所以，. 所以, 所以,. 所以BDE.(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量. 设平面ABE的法向量,则，. 即所以且 令则. 所以. 从而。 因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为.【考点精题精练】一、 选择题1正方体中，与平面所成角的大小为（ D）A B C D2两异面直线所成角的范围是（ C）A B C D3已知向量，则向量的单位方向向量一定是 （ D）A B C D4已知分别是两条直线的方向向量，则 （ A）A B相交 C异面 D5若分别是平面的法向量且，则的值为( B )A1或2 B1或2 C1 D26已知直线的方向向量为，直线
4、的方向向量为，则的夹角为（C）A B C D7已知A（1，0，1），B（0，1，1），C（1，1，0），则平面ABC的一个单位法向量可以是 （ D ）A（1，1，1） B（1，1，1） C D8. 在空间直角坐标系中点P（1，3，5）关于对称的点的坐标是（C ）A（1，3，5） B（1，3，5） C（1，3，5） D（1，3，5）9. 已知空间直角坐标系中且，则B点坐标为（）A、（9,1,4） B、（9,1，4）C、（8,1，4） D、（8,1,4）10. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M为D1C1上的点，且D1M:MC1=3:1，则CM和平面AB1D1所成角的大小是，则sin等
5、于 （ ） A B C D11. 在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC=，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GDEF，则线段DF的长度的取范围为 （ ） A B C D解析：建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）.所以，.因为，所以，由此推出 . 又，从而有12. 正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF与底面ABC所成角的余弦为 （C ） A B C D 二、填空题13. 已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为_(0, _14.
6、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, ),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q的坐标是_(0, ) _15. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 .16. 如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）中，四边形ABCD是边长为1的菱形，E为的中点，F为的中点，则异面直线AC与所成的角的大小为 三、解答题17（全国二19）（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小解法一：依题设知，ABCDEA1B1C1D1FHG（）连结交于点，则由三垂线定理知，3分在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以
7、平面6分（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小为12分 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系依题设，3分（）因为，故，又，所以平面6分（）设向量是平面的法向量，则，故，令，则，9分等于二面角的平面角， 所以二面角的大小为12分18. 如图，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1. 已知AB=2，AA1=1，BB1=，求： （）直线AB分别与平面所成角的大小； （）二面角A1ABB1的大小.解法一：（I）如图，连接A1B，AB1.，=l，AA1l，BB1l，AA1，BB1a.则BAB1
8、，ABA1分别是AB与和所成的角.RtBB1A中，BB1=，AB=2，sinBAB1= BAB1=45RtAA1B中，AA1=1，AB=2，sinABA1= ABA1=30.故AB与平面，所成的角分别是45，30.（II）BB1， 平面ABB1.在平面内过A1作A1EAB1交AB1于E，则A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中，BAB1=45，AB1=B1B=.RtAA1B1中，AA1=A1B1=1，在RtAA1B中，由AA1A1B=A1FAB得A1F= 在RtA1EF中，sinA1FE=，二面角A1ABB1的大小为arcsin .解法二：（I）同解法一.（II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.在AB上取一点F（x , y, z），则存在tR，使得，即(x, y, z1)=t(,1,1), 点F的坐标为(t, t, 1t).要使即(t, t, 1t)(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0,解得t=,点F的坐标为设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，）， 二面角A1ABB1的大小为arccos.1用心 爱心 专心
