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1、 1 13.4 等差数列与等比数列的综合问题知识梳理（一）等差、等比数列的性质1.等差数列an的性质（1）am=ak+（mk）d，d=.（2）若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n
2、+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等差数列.（6）若数列an的项数为2n（nN*），则S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列an的项数为2n1（nN*），则S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an为中间项）.2.等比数列an的性质（1）am=akqmk.（2）若数列an是等比数列，则数列1an（1为常数）是公比为q的等比数列；若bn也是公比为q2的等比数列，则1an2bn（1、2为常数）也是等比数列，公比为qq2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、k
3、N*，且m+n=k+l，则aman=akal，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1a2an，N=an+1an+2a2n，P=a2n+1a2n+2a3n，则M、N、P也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为ad，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a3d，ad，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，aq，aq3.（三）用函数的观点理解等差数列、
4、等比数列1.对于等差数列，an=a1+（n1）d=dn+（a1d），当d0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当d0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前n项和为Sn，则Sn=pn2+qn（p、qR）.当p=0时，an为常数列；当p0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.对于等比数列：an=a1qn1.可用指数函数的性质来理解.当a10，q1或a10，0q1时，等比数列是递增数列；当a10，0q1或a10，q1时，等比数列an是递减数列.当q=1
5、时，是一个常数列.当q0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.点击双基1.等比数列an的公比为q，则“q1”是“对于任意自然数n，都有an+1an”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：当a10时，条件与结论均不能由一方推出另一方.答案：D2.已知数列an满足an+2=an（nN*），且a1=1，a2=2，则该数列前2002项的和为A.0 B.3 C.3 D.1解析：由题意，我们发现：a1=1，a2=2，a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=1，a6=a4=2，a2001=a1999=1，a2002=a2000=2，a1+a2+a3+a4=
6、0.a1+a2+a3+a2002=a2001+a2002=a1+a2=1+2=3.答案：C3.若关于x的方程x2x+a=0和x2x+b=0（ab）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是A. B. C. D.解析：依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4，公差为d，其中a1=，即a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1.由此求得a4=，d=，于是a2=，a3=.故a+b=a1a4+a2a3=+=.答案：D4.（2004年春季上海，12）在等差数列an中，当ar=as（rs）时，数列an必定是常数列，然而在等比数列an中，对某些正整数r、
7、s（rs），当ar=as时，非常数列an的一个例子是_.解析：只需选取首项不为0，公比为1的等比数列即可.答案：a，a，a，a（a0）5.（2002年北京，14）等差数列an中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_.解析：设a1，a3，a11成等比，公比为q，a3=a1q=2q，a11=a1q2=2q2.又an是等差数列，a11=a1+5（a3a1），q=4.答案：4典例剖析【例1】 （2005年春季北京，17）已知an是等比数列，a1=2，a3=18；bn是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求数
8、列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:（1）设an的公比为q，由a3=a1q2得q2=9，q=3.当q=3时，a1+a2+a3=26+18=1420，这与a1+a2+a320矛盾，故舍去.当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=2620，故符合题意.设数列bn的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.又b1=2，解得d=3，所以bn=3n1.（2）Sn
9、=n2+n.（3）b1，b4，b7，b3n2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+3d=n2n；b10，b12，b14，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+2d=3n2+26n.PnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.所以，对于正整数n，当n20时，PnQn；当n=19时，Pn=Qn；当n18时，PnQn.评述：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】 （2005年北京东城区模拟题）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项
10、、第四项.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n均有+=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n项和Sn.剖析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn；（2）由题先求出an的通项公式后再求Sn.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2.a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），an=2n1（n=1，2，3，）.由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n1（n=1，2，3，）.（2）当n=1时，c1=6；当n2时，=（n+1）an+1nan=4n+1，cn=（4n+1）mn1b
11、n=（4n+1）（3m）= 当3m=1，即m=时，Sn=6+9+13+（4n+1）=6+=6+（n1）（2n+5）=2n2+3n+1.当3m1，即m时，Sn=c1+c2+cn，即Sn=6+9（3m）+13（3m）2+（4n3）（3m）n2+（4n+1）（3m）n1. 3mSn=63m+9（3m）2+13（3m）3+（4n3）（3m）n1+（4n+1）（3m）n. 得（13m）Sn=6+33m+4（3m）2+4（3m）3+4（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+4（3m）2+（3m）3+（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+（4n+1）（3m）n.Sn=+.Sn= 评述：本题主要
12、考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 （2005年北京海淀区模拟题）在等比数列an（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论.（1）证明：bn=log2an，bn+1bn=log2=log2q为常数.数列bn为等差数列且公差d=log2q.（2）解：b1+b3+b5=6，b3=2.a11，b1=log2a10.b1b3b5=0，b5=0.解得Sn=4n+（1）=.an=25n（nN*）.（3）解：显然an=25n0，当n9时，Sn=0.n9时，anSn.a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，当n=3，4，5，6，7，8时，anSn；当n=1，2或n9时，anSn.评述：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想.闯关训练夯实基础1.在等比数列an中，a5+a6=a（a0），a15+a16=b，则a25+a26的值是A. B. C.
