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1、二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图2所示，在四面体中，,。求二面角的大小。图2分析：四面体的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。解：设线段的中点是，接和。根据已知的条件，可以知道且。又是平面和平面的交线。根据定义，可以得出：即为二面角的平面角。可以求出，并且。根据余弦定理知：即二面角的大小为。同样，例2也是用概念法直接解决问题的。例2：如图3所示，是正方形，求二面角的大小。图3解：作辅助线于点，连接、。由于，所以。即。由于，所以即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：，又，在三角形中可以计算得到。由此可以得到：，又。由余
2、弦定理： 即：。4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3：如图4所示，现有平面和平面，它们的交线是直线，点在平面内，点在平面内。求二面角的大小。图4分析：过点作辅助线垂直于，作垂直于平面于点。4.2.1补角法直接求解二面角的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角。因为二面角与二面角是互补的关系，现在先求出二面角后，二面角的大小就很容易计算了。4.2.2三垂线法由于，平面。那么根据三垂线定理可以得知：在平面内的射影垂直于两平面的交线。即且，根据定义可知，二面角的大小即为的大小。那么二面角的大小可以用
3、补角法得到。4.2.3切平面法切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面垂直于两个平面的交线，平面与平面的交线是，平面与平面的交线是，根据二面角的定义知即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角的大小。 下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4： 在图5中，。其中，。是的中点，。求二面角的大小。图5解：由于是的中点，且是等腰三角形，那么。又，可以推出：。所以：。又，则，所以。可以得出：是和的公共切平面。由此，根据切平面法知即为所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根据余弦定理可知：那么。即求二面角的
4、大小是。4.2.4补形法以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法补形法。例5：在图6中，四边形是一个直角梯形，其中，。求平面与平面所成二面角的大小。图6解：延长直线与，它们相交于点，连接。由题意可知，平行于，的长度是的一半，且，那么，。在三角形中，。那么根据勾股定理可知，即。，且是在平面内的射影，根据三垂线定理知：。又，即即为所求的二面角。在中，。那么。即：所以平面与平面所成二面角的大小是。在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我
5、们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.3空间向量法4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为，那么的取值范围是。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角的取值范围是。但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下：如果，。（1）如果，。（2）因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。4.3.2平面法向量的求法两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未
6、知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：例6：如图7所示在平面内，已知三点，。图7下面求解平面的一个法向量。解法一：求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：又，可以求出：解法二：设平面的方程为将点，的坐标分别代入方程可以解出系数，。在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将，全部用表示，这样就可以得到一个形如的方程，可以将新得到的方程两边同时除以（，否则，方程无意义），那么就可以得到平面的方程。得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标。解法三：在图7中，由所给的信息，可
7、以求出向量、的大小。设平面的一个法向量。若，。由，可以得到：可以求解出，的关系。此方程一定有无数多个解，可以将，用表示。如，由此可知向量是平面的一个法向量。4.3.3两平面夹角的公式两平面相交时，定义它们之间的夹角为它们法向量的夹角为，其中。于是：4.3.4两平面的夹角转化成二面角利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。例7：如图8所示，四边形是一个矩形，点和点分别在边和边上，其中，。现在以直线为折痕，将三角形折起，得到三角形，同时使得平面与底面垂直。求二面角的大小。图8解：以点为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系，设点是线段的中点，
8、连接。可以得到：，。由于，所以。又平面与底面垂直。所以：。即是底面的一个法向量。设是平面的一个法向量。那么：，即：那么：，即。即二面角的大小为4.4另类方法比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。4.4.1四面体体积法例8：如图9所示，在空间四面体中，四面体的所有棱长都是1，求二面角的大小。图9分析：过点作辅助线平面于点，过点作辅助线于点，连接直线，。由于四面体是一个正四面体,即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时同样是所求的二面角）正四面体的棱长是1，可以求出正四面体的体积是根据已知条件可知：， 可以求出：，即：。当四面体不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要
9、知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。4.4.2角度法例9：如图10所示，以点为顶点的三条射线分别是、，其中、的夹角是，、的夹角是，、的夹角是。现在要求二面角的大小。图10分析：现在设，并且（由于、的长度没有给出，这样的假设是合理可行的），那么即为所求二面角的大小。根据已知条件可以得到：， ， 又将、带入得到：在三角形中, 即：通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。4.4.3面积射影法例10：如图11所示，在空间直角坐标系中，点、分别在、轴上，现在要求二面角的大小。图11分析：作并且与相交于点。连接。根据三垂线定理可知：。即：即为所求二面角。在中，。在中，。并且。是在平面内的射影。由以上的条件可以得到：即：（其中是在平面内的射影。）用另外一种简便语言表示就是：16
