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1、1.（本题满分15分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形。分别为的中点，。（I） 设是的中点，证明：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到,的距离。2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，（）试确定m，使得直线AP与平面BDB1D1所成角的正切值为；（）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。3. 如图甲，ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点线段AG交线段ED于F
2、点，将AED沿ED翻折，使平面AED平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。 （I）求证BC平面AFG；（II）求二面角BAED的余弦值.4在如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，M是AB的中点（1）求证：；（2）求CM与平面CDE所成的角DABEFC（第18题）5. 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直， （）求证：平面；（）当的长为何值时，二面角的大小为？6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF. （I）求二面角的余弦值； （II）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻
3、折，使C与重合，求线段FM的长.7. 如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为的菱形，BAD=120，且PA平面ABCD，PA=, M，N分别为PB,PD的中点。（1）证明：MN平面ABCD；（2）过点A作AQPC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。9. 如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且 （）证
4、明：平面；（）若二面角的大小为，求的大小 10. （第16题图）FACDEB如图，在五面体中，已知平面，（1）求证：；（2）求三棱锥的体积11. 如图，在直三棱柱中，已知，（第22题图）ABCA1B1C1（1）求异面直线与夹角的余弦值；（2）求二面角平面角的余弦值ACDBN12(本小题14分)在等腰梯形中，是的中点将梯形绕旋转，得到梯形（如图）（1）求证：平面； （2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值PABCDQM13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2
5、，BC=AD=1，CD=（I）求证：平面PQB平面PAD； （II）若二面角M-BQ-C为30，设PM=tMC，试确定t的值14如图，直角梯形ABCD中，AB/CD， = 90 , BC = CD = ,AD = BD：EC丄底面ABCD, FD丄底面ABCD 且有EC=FD=2.(I )求证：AD丄BF :(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角 B-MF-C的余弦值. 1.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则，由题意得，因，因此平面BOE
6、的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 解法：（）故。所以。又.故在，即.故当时，直线。（）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。因为，所以又,故。从而解法二：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
7、所以又由的一个法向量.设与所成的角为，则依题意有：，解得.故当时，直线。（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求.3. () 在图甲中，由ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DEAF，DEGF，DE/BC 2分在图乙中，因为DEAF，DEGF，AFFG=F，所以DE平面AFG又DE/BC，所以BC平面AFG 4分() 因为平面AED平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DEAF，DEGF，所以FA，FD，FG两两垂直以点F为坐标原点，分别以FG，
8、FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，0) 6分设平面ABE的一个法向量为则，即，取，则，则 8分显然为平面ADE的一个法向量，所以10分二面角为钝角，所以二面角的余弦值为12分4. 方法一：（1）证明：因为AC=BC，M是AB的中点，所以CMAB又EA 平面ABC，所以CMEM（2）解：过点M作MH平面CDE，垂足是H，连结CH并延长交ED于点F，连结MF、MD，FCM是直线CM和平面CDE所成的角因为MH平面CDE，所以MHED， 又因为CM平面EDM，所以CMED， 则ED平面CMF，因此EDMF设EAa，BDBCAC2a，在直角梯形ABDE中，AB2a，M是A
9、B的中点，所以DE3a，EM，MD a，得EMD是直角三角形，其中EMD90所以MF在RtCMF中，tanFCM=1，所以FCM=45，故CM与平面CDE所成的角是45方法二：如图，以点C为坐标原点，以CA，CB分别作为x轴和y轴，过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴，建立直角坐标系C-xyz，设EA=a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），C（2 a，0，a），A（0，2 a，2 a），A（a，a，0）.（1）证明：因为=（-a，a，-a），=（a，a，0），所以=0，故.（2）解：设向量n=（1，）与平面CDE垂直，则，即 =0，=0.因为=（2a,0,a）, =(0,2a,2a),
10、所以y=2，z=-2，即n=（1，2，-2），直线CM与平面CDE所称的角是45.5. 方法一：DABEFCHG（）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面（）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角在中，因为，所以，DABEFCyzx又因为，所以，从而于是因为，所以当为时，二面角的大小为方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设，则，（）证明：，所以，从而，所以平面因为平面，所以平面平面故平面（）解：因为，所以，从而解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所
11、以，得到所以当为时，二面角的大小为6. 方法一： （）解：取线段EF的中点H，连结因为及H是EF的中点，所以又因为平面平面BEF，及平面所以平面BEF。如图建立空间直角坐标系则故设为平面的一个法向量所以取又平面BEF的一个法向量故所以二面角的余弦值为 （）解：设因为翻折后，C与A重合，所以CM=故，得经检验，此时点N在线段BG上所以方法二： （）解：取截段EF的中点H，AF的中点G，连结，NH，GH因为及H是EF的中点，所以H/EF。又因为平面EF平面BEF，所以H平面BEF，又平面BEF，故，又因为G，H是AF，EF的中点，易知GH/AB，所以GH，于是面GH所以为二面角DFC的平面角，在中，所以故二面角DFC的余弦值为。 （）解：设，因为翻折后，G与重合，所以，而得经检验，此时点N在线段BC上，所以7. 解：（）证： ABAC，D为BC的中点，BCAD PO平面ABC POBC，而POAD=OBC平面ADP APBC（）当CMAP时，二面角A-MC-B为直二面角，AM平面MBC平面AMC平面MBC方法二：8. （）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以 又因为平面，所以 平面（）方法一： 连结交于，以为原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示 在菱形中，得 ， 又因为平面，所以 在直角中，得 ， 由此知各点坐标如下，
