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1、专题01 ：锥曲线解答题临考突破(解析版)1.点。是平面直角坐标系中异于原点。的一个动点，过点。且与y轴垂直的直线与直线x = Y交于点且向量反与向量加垂直.(1)求点。的轨迹方程；(2)设C位于第一象限，以OC为直径的圆。，与V轴相交于点N,且NNCO = 30。，求OC的值.【答案】(1) V=4x(xw0)； (2) 8G【解析】【分析】(1)设C(x,y)(xwO),可利用坐标表示出两 OC，由垂直关系的坐标表示可构造 方程，整理得到所求的轨迹方程；(2)根据角度关系可确定直线。方程，代入抛物线方程可求得。点坐标，由两点间 距离公式可求得结果.【详解】(1)设C(.y)(xwO),那么
2、.,丽= (-4,y), OC = (x9y)9 OC OM OM OC = -4x- y2 =0 ,J点C的轨迹方程E :y2= 4Mx w O)(2)由题意知：ZNCO = 30, ZCNO = 90 , ZNOC = 60 , 二直线。倾斜角为30。，那么直线OC方程为y =4x ,由 ,一 3 X得:y2 = 4xx = 0x = 12/产。或145 :点C异于原点。，(12,4矶 C)C| = 122+(4V3)2 = 862.(此题总分值14分)22椭圆一+工=1的右焦点为F,右准线为/,且直线y = x与/相交于A点. m+ m m(I )假设。C经过。、F、A三点，求。的方程；
3、(II)当加变化时，求证：OC经过除原点。外的另一个定点以(III)假设衣.通0)的两个顶点在直线乎+y = l上，直线/经过椭圆的 右焦点F,与椭圆交于A、B两点，点心用工不在直线，上)(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/与尤=2交于点设, PB, 的斜率分别为国，&.试问：是否存在试卷第10页，共18页常数2使得K+左2=丸%3?假设存在，请求出2的值；假设不存在，请说明理由.【答案】（1） + /=1; （2）存在，4 = 2.2【解析】【分析】（1）求得直线交x+y = l与两坐标轴的交点，即可得“，b,即可得答案. 2（2）设4（不,）伍，%），直线=1）,那么以（2欢），将直线与椭
4、圆联立，根据韦达定理，可得西+工2，/2表达式，进而可得K+&表达式，根据P、“坐标，可得攵3 表达式，化简整理，即可得答案.【详解】直线与坐标轴的交点为（60）,（。/）67 ,b I故椭圆的标准方程为匕+ 9=1 2（2）设4（5, 乂）,8（肛必），直线45:丁 =依九一1）,那么M直左）.y = k(X-l)2=丁+2尸q_i)2_2 = 0,即(1 + 2左2) 4左21 + 2公一2 = 0,工+ 丁 =14k1 2I +土 = 1+ 2攵 2,中2 =4k1 2I +土 = 1+ 2攵 2,中2 =2k2-21 + 2公 亚X1 一 =2正= 2k 显一芯：2=22 xx2 -(
5、xj +x2) + l显.2 2 攵 22 4k2解题的关键是熟练掌握直线与曲线联立，韦达定理的应用，分别求得占+心表达式和公 表达式，根据题意，进行化简整理，考查分析计算的能力，属基础题.11 .点n(i,o),动点 P 满足 |PM|二G|PN|.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过抛物线y2=2x上一点A(2,2)作曲线E的两条切线分别交抛物线于3, C两点， 求直线的斜率.【答案】(1) (x 2)2 + y2=3； (2)【解析】【分析】(1)根据线段的数量关系，结合两点距离公式，即可得动点p的轨迹E的方程；(2)由题意可设切线方程为y-2 = Z(x-2),联立轨迹的方程，根据
6、= ()求攵值，再将所得两切线方程与抛物线联立求8, C纵坐标，结合怎二江二互求斜率. xc -【详解】(1)设 P(%,y),由 M(T0), N(1,O), |PM|=G|PN|,可得：J(x + l)2 + y2 =旧0_)2” ,故动点P的轨迹E为(x-2 + y2=3；(2)由题意知，切线斜率存在且不为0,设切线方程为-2 =攵。-2),联立:一I：；?得写三+产=3,化简得(1 +公卜24-3左2+4 = 0, (x 2)- + V=3k24=16-40 +尸乂4-3尸) = 0,解得攵=且，二切线方程为y - 2 =3(- 2)和y - 2 =2),联立y-2 = (x-2) y
7、2 = 2x【点睛】y-2 = W(x-2) 解得为= 26-2, yc=-23-2, y2 = 2x关键点点睛：(1)设动点，根据题设，应用两点距离公式求轨迹;试卷第12页，共18页（2）设切线方程（注意斜率是否存在），根据与轨迹E相切有 = （）求斜率，再求两切线与抛物线的交点纵坐标，应用两点式求斜率2212.椭圆。：3+ = （ 匕0）的短轴长与焦距均为4.（1）求椭圆。的方程；（2）假设直线y = x + m与椭圆C交于不同的两点A, B,且线段AB的中点”在圆 + 丁 =1上，求用的值.【答案】（1） + = 1; （2） 土史. 845【解析】【分析】（1）由题可直接求出。力，即可
8、得出方程；（2）联立直线与椭圆方程，可表示出“坐标，代入圆的方程即可求出加的值.【详解】2/7 = 4,解：（1）设焦距为2c,由得2c = 4,解得 =2四，b = 2,a2 =Z72 +c2,22故椭圆c的方程为工+=1. 84（2）设4（5,凹），3伍,），线段AB的中点为（8人），f 22土+ J由 J 8 4得3/+4如+ 2/-8 = 0 ,y = x + m,A = 96-8m2 0，-273 m0),短轴长为2VL椭圆左顶点到左焦点的距离为1.2(2)如图，点尸(4,0),点A是椭圆的右顶点，直线/与椭圆C交于不同的两点E,F,瓦/两点都在X轴上方，且/APE = NOPF.证
9、明直线/过定点，并求出该定点坐标.?2【答案】(1) 土 +匕=1； (2)证明见解析，(6,0).43【解析】【分析】(1)利用和。力的关系，列方程组可得椭圆。的标准方程；(2)直线/斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，ZAPE = NOPF可得 kpE + kpF=U,利用根与系数的关系代入化简，可得直线/所过定点.【详解】2b = 273 仅=6(1)由, a-c = 得 q = 2 , a2 -c2 =b2 c = lV.I22所以椭圆。的标准方程为土 + & = 1 .43(2)当直线/斜率不存在时，直线/与椭圆。交于不同的两点分布在x轴两侧，不合题屈、.所以直线/斜率存在，设直
10、线/的方程为丁 =丘+帆.试卷第14页，共18页土+匕=1由J 43得（3 + 4攵2）工2+8由a+ 4病-12 = 0,y = kx-m所以 +% =所以 +% =- 8km3 + 48XxX2 =4疗 一123 + 4/因为 ZAPE = NOPb,所以 kpE + kpF = 0 , I =024772即 22,整理得2辰+(相%)。+工2) 0X. 333化简得机=-6Z ,所以直线/的方程为丁 =丘-6攵=攵。-6),所以直线/过定点(6,0).14.圆方:(x l + y2=i,动点M(羽y)(x0),线段方河与圆方交于点/, MH Ly 轴，垂足为“，MI=MH,设动点加形成的
11、轨迹为曲线C.(I )求曲线C的轨迹方程，并证明斜率为-2的一组平行直线与曲线。相交形成的弦 的中点在一条直线上；(II)曲线。上存在关于直线/：x-2)-3 = 0对称的相异两点A和3,求线段A5的中点 。的坐标.【答案】(I) 丁=以，证明见解析；(H) (1-1).【解析】【分析】(I )先利用抛物线的定义得出所求点M的轨迹为抛物线，再求其标准方程，利用点 差法和中点坐标公式求出弦的中点在一条定直线上；(II)设点%)，*%)，利用点差法求出直线的斜率，再利用直线A3和直线/垂直得到直线/的斜率，结合(I )的结论进行求解.【详解】(I ) -.MI+1=MF=MH+19，点的轨迹。为以
12、尸为焦点，X = -1为准线的抛物线，,曲线。的方程为丁=4-设点4(冷x)，4(w，%)为其中任意一条斜率为-2的直线与曲线c的两个交点,设线段44的中点为E(x,y),那么，% =4%那么（，-%）（乂+%） = 4 k - - -2一4 一 , 一乙、X+%所以这组斜率为-2的平行直线与曲线。相交形成的弦的中点在直线y = -l上;（II ）设点 A（七,%），3（%4，乂），那么（为_%）（% + %） = 45_玉）,又.A5关于直线/对称,* ab = 2，艮口 为 + y4= 2，. %+乂=_12，又A8的中点一定在直线/上，, = 2xA1A+3.i,22线段的中点。坐标为（1,一1）. 2215.椭圆C：=十二=1（”0）的左、右焦点分别为耳（-c,0）, E（gO）,过尸2作 cT b垂直于X轴的直线/交椭圆于A, 8两点，且满足|AE|=*c.（1）求椭圆。的离心率；（2） M , N是椭圆。短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆。的顶点），直线MP、NP分别与x轴相交于R,。两点，。为坐标原点，假设|。用|。|=4,求椭圆C 的方程.【答案】（1）;（2） + /=1
