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1、高二数学选修11 第二章综合 直线与圆锥曲线的位置关系北师大版（文）【本讲教育信息】一、教学内容直线与圆锥曲线的位置关系二、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。三、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L的方程是：，圆锥曲线的方程是，则由消去得：（*）设方程（*）的判别式（1）若圆锥曲线是椭圆，若方程（*）有两个不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点。若方程（*）有两个相等
2、的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点。若方程（*）无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点。（2）若圆锥曲线是双曲线。若方程（*）有两个不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点。若方程（*）有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点。若方程（*）无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点。注：当直线L与渐近线平行，直线L也与双曲线是相交的，此时直线L与双曲线只有一个公共点。故直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交也可能相切。（3）若圆锥曲线是抛物线若方程（*）有两个不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的公共点。若方程（*
3、）有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点。若方程（*）无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点。注：当直线L与抛物线的对称轴平行时，直线L与抛物线只有一个公共点，此时直线L与抛物线相交，故直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切。2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。设直线L与圆锥曲线交于，直线L的斜率为k，则=【典型例题】考点一：直线与圆锥曲线的位置关系的研究例1：设抛物线的准线与x轴交于点Q，过点Q的直线L与抛物线有公共点，求直线L的斜率k的取值范围。【思路分析】由已知抛物线方程可求Q，写出过Q点的直线方程与抛物线方程组成方程组。消去y利用求k的范围。解：由得
4、Q（2，0），过Q点的直线L的斜率为k，（显然k存在，当k不存在时直线L与抛物线无公共点）则直线L的方程是，故消去y得：（*）由直线L与抛物线有公共点知：方程（*）有解，即解得，故所求k的范围是1，1考点二：弦长及中点弦的问题的研究例2：过点P（1 ，1）的直线与椭圆交于A，B两点，若线段AB的中点恰为P点，求AB所在的直线方程及弦长|AB|【思路分析】设A，把A，B两点的坐标代入椭圆方程相减（点差法）现结合中点坐标公式求出直线AB的斜率，从而可求直线AB所在直线的方程。再根据弦长公式求|AB|。解：设A，由A，B两点在椭圆上得：，两式相减得：（1）显然，故由（1）得：因为P是AB的中点，所以
5、有：（2）把（2）代入（1）得：，故AB的直线方程是即x2y+3=0消去y得：，例3：过椭圆内一定点M（1，0）引弦，求弦的中点轨迹方程【思路分析】用“点差法”及中点坐标公式表示出弦的斜率，然后利用点斜式求出中点轨迹方程解：设弦的两端点，弦中点是P（x，y） 两式相减得：（*）由P是P1P2的中点得：代入（*）得：即弦的斜率k=，故弦的中点轨迹方程是y0=整理得：【说明】由于M（1，0）在椭圆的内部，过M的直线必与椭圆有两个交点。考点三：范围与最值问题例4：若在抛物线上存在相异两点关于直线L：对称，求m的范围。【思路分析】由直线L：y=m（x2）知：当m=0时，直线L恰好是抛物线的对称轴。显然
6、抛物线上存在两点关于直线L对称。当m时，设P是抛物线上关于直线L对称的两点。PQ中点是M，设直线PQ的方程是把直线方程代入抛物线方程得到关于y的一元二次方程，由判别式大于零得到m与b的不等关系式，再由M点在直线L上得到关于m，b的等式。然后消去b得到关于m的不等式。解：当m=0时，直线L：y=0恰好是抛物线的对称轴。满足题设条件。当m时，设P是抛物线上关于直线L对称的两点。PQ中点是M，设直线PQ方程是消去x得：（*）方程（*）有两个不等实根 （m与b的不等关系），由M点在直线L上得：（2）（m与b的等量关系）把（2）代入（1）得：综合上述知：所求m的范围是【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要
7、讲述直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线相交是高考的重点。在此过程中，充分体现了方程的数学思想、等价转化的数学思想及判别式法、点差法等数学思想方法的应用。预习导学案（第三章：变化率与导数）（一）预习前知1、设一运动的物体从时间变化到时间时，物体所走的路程从变化到，这段时间内物体的平均速度是多少？2、体温的变化的快慢可用平均变化率来描述，当体温由时间变为时，体温由变为，这段时间内体温的平均变化率是多少？（二）预习导学反思探究反思探究的任务：变化率与导数1、对于一般的函数y=f（x），当自变量x从x1变到x2时，函数值由变到，则函数的变化率是 。常用 来刻画函数值在区间上的变化快慢。2、瞬时变
8、化率是 。【反思】瞬时变化率主要是刻画函数 。3、导数的定义是 。【反思】根据导数定义：=A，则= 。4、导数的几何意义是 。【反思】根据导数的几何意义：你能求出函数在x=2处的切线方程吗？求函数在x=1处的切线的斜率。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题： 1、已知点A（4，2）是直线L被椭圆所截得的线段中点，则L的方程是（ ）A. x2y=0 B. x+2y4=0 C. 2x+3y+4=0 D. x+2y8=02、已知双曲线方程，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m F1为另一焦点，则的周长是（ ）A. 2a+2m B. 4a+2m C. a+m
9、D. 2a+4m3、已知直线L与抛物线交于A，B两点，且L经过抛物线的焦点F，点A（8，8），则线段AB的中点到准线的距离是（ ）A. B. C. D. 254、抛物线上一点到直线y=4x5的距离最短，则该点坐标是（ ）A.（1，2） B.（0，0） C.（ D.（1，4）5、对一切实数k，若直线L：y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（ ）A.1，+ B.（0，1） C. 1，5） D.二、填空题（每题6分，计30分）6、直线L：y=2与抛物线的交点坐标是 7、直线L：y=x+3与双曲线的交点个数是 个8、直线L过椭圆的焦点且垂直于x轴，则直线被椭圆截得的弦长是 。9、过抛物线焦点
10、的直线的倾斜角是45，则此直线方程是 。10、若直线L：y=x+m与椭圆有两个不同的交点，则m的范围是 三、计算题：11、已知直线y=x+b与双曲线相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，求b的值。（12分）12、经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30的弦AB，（1）求|AB|（2）求三角形的周长，（F1是左焦点）（14分）13、已知抛物线与直线y=k（x+1）相交于A，B两点，（1）求证：（2）当，求k值。（14分【试题答案】一、选择题：1、（D） 解析：设弦的两端点P，则两式相减得：故直线方程为y2=，即：x+2y8=02、（B） 利用双曲线的第一定义。3、（A） 解析：设AB的中点是P
11、，到准线的距离是|PQ|F（2，0），直线AB的方程是：y=A（消去x得：，由抛物线的定义知：|PQ|=4、（C） 解析：设P（，P点到直线的距离d=，故当a时，d最小，此时P点坐标为（5、（D） 直线L过定点（0，1），故直线L恒与椭圆有公共点的充要条件是定点（0，1）在椭圆的内部或椭圆上，故答案选（D）二、填空题6、（1，2）7、1 解析：因直线与双曲线的渐近线平行。8、 解析：椭圆的右焦点F（2，0），过右焦点F且垂直于x轴的直线方程是x=2，P，Q是直线x=2与椭圆的两个交点9、y=x110、（） 解析：三、计算题：11、解：设A（，由以AB为直径的圆过原点知：（*）（1），（2）把（1）（2）代入（*）得：12、解：（1）由双曲线的方程知：AB的直线方程为：消去y得：，（2）由于，故A，B两点在双曲线的两支上，设有的周长=|AB|+|=3+13、解：（1）如图：由方程组，设A（，由A，B两点在抛物线上得：（2）设直线AB与x轴交于N，显然k不等于0令y=0，则x=1，即N（1，0）
