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1、章标 题第五章 二次型教学目标计划课时12学时教学要求1、 理解二次型、二次型的矩阵、线性替换和矩阵合同的概念，掌握二次型与对称矩阵的关系。2、 掌握二次型为标准形的方法。3、 理解二次型的秩、复（实）二次型的规范形、实二次型的正（负）惯性指数和符号差的概念，理解复（实）二次型的规范形的唯一性和实二次型的惯性定理。4、 理解正定二次型和正定矩阵的概念，掌握正定二次型和正定矩阵的性质。教学重点教学难点1、 二次型的矩阵的定义和求法；2、 二次型的秩、正（负）惯性指数和符号差的概念；3、 化二次型为标准形和规范型的方法；4、 正定二次型和正定矩阵的概念、判断和性质。突破方法讲授，讨论和习题相结合所
2、用基础知识提示详细内容及教学过程思路、设问、要点、提示、注解1 二次型的矩阵表示设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式 （1）称为数域上的一个元二次型（简称二次型）。例如是一个三元二次型；是一个四元二次型注意：（1）中（1）。3） 。具体证明过程略。易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵，反之，矩阵为对角形就只含平方项。经非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。即：对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使 为对角矩阵。 二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准型。下面我
3、们举例来说明如何化二次型为标准型：例1 化二次型为标准型。 解： 作非退化线性替换,则再令 或,则最后令 或，则是平方和，而这几次线性替换的结果相当于一个总的线性替换，例2 化二次型为标准型。练习： 1（1）；作业：1（2）（4）3 唯一性我们看到，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵。而合同的矩阵有相同的秩，即经过非退化的线性替换后，二次型的秩是不变的。标准型的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数。因此，在一个二次型的标准型中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关。二次型矩阵的秩有时也称为二次型的秩。至于标准型中的
4、系数，就不是唯一确定的。（举例说明）这说明，在一般的数域内，二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。下面我们就复数域和实数域的情况来进一步讨论唯一性的问题。先看复数域的情形。设是复数域的二次型。经适当的非退化线性替换可以变成标准型。不妨设它的标准型是， （1）易知就是的秩。因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就可以变成 （2）（2）称为复二次型的规范型。显然，规范型完全被原二次型的秩所决定，因此有定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型且规范型是唯一的。即任一复数的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数
5、等于该二次型的秩，其余元素均为零。故两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。再来看实数域的情况。设是实数域的二次型。经适当的非退化线性替换再适当排列文字的次序，可使变成标准型。不妨设它的标准型是 （3），就是的秩。因为在实数域内，正实数总可以开平方，所以再作一非退化的线性替换（3）就可以变成 （4）（4）被称为实二次型的规范型。显然规范型完全被r，p这两个数所决定。因此有定理4 任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型；且规范型是唯一的。定义3 在实二次型的规范型中，正平方项的个数称为的正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差。注意：虽
6、然实二次型的标准型不是唯一的，但是标准型系数为正的平方项的个数与规范型中正平方项的个数是一致的。故惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准型中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数。即实二次型的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数就是该二次型的正惯性指数，-1的个数就是该二次型的负惯性指数，1与-1的个数的和就是该二次型的秩，其余元素为零。故两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正惯性指数与负惯性指数分别相等。小结：如果复数域上的两个二次型的秩相等，它们就能用非退化线性替换相互转化。但实二次型不是这样。两个秩
7、相等的是实二次型的正惯性指数不一定相等，因而也不一定有相同的标准型，所以它们就不一定能用非退化的线性替换互相转化。两个实二次型能够用非退化的线性替换互相转化的充要条件是它们的秩相等，正惯性指数也相等；或者是它们的正惯性指数相等，负惯性指数也相等。练习： 1、（分复数域与实数域两种情况来把二次型的规范型写出来）4 正定二次型定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有；如果都有，称为负定的；如果都有，称为半正定的；如果都有，称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，则称为不定的。显然，二次型是正定的，因为只有在时，才成立。不难验证，实二次型是正定的当且仅当，。定理5 元
8、实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。证明：设实二次型是正定的，经过非退化的实线性替换 （2）变成二次型， （3）我们的目的是要证明二次型也是正定的，即要证明：对于任意一组不全为零的实数都有 。事实上，令，代入（2）的右端，就得对应的一组值，这就是说， 因为可逆，就有所以当是一组不全为零的实数时，也是一组不全为零的实数。显然。即经过非退化的线性替换正定性保持不变。从而，设二次型经过非退化的线性替换变成标准型 （4）则正定当且仅当（4）正定，而二次型（4）是正定的当且仅当，即正惯性指数为。定理5说明，正定二次型的规范型为 （5）而二次型（5）的矩阵是单位矩阵，这说明正定二次型的实对称
9、矩阵合同于单位矩阵定义5 实对称矩阵称为正定的，如果二次型正定。所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。因此，推论 正定矩阵的行列式大于零。为了能直接从二次型的矩阵来判断这个二次型是不是正定的，而不是通过把二次型化成规范型来判断，我们需要引入子式的定义：定义6 子式， 称为矩阵的阶顺序主子式。定理6 实二次型是正定的充要条件为矩阵的顺序主子式全大于零。例 判别二次型是否正定。由定理6可以得出负定二次型的判别条件。下面的定理7是半正定二次型的判别条件定理7 对于实二次型，其中是对称的，下列条件等价：（1） 是半正定的，（2） 它的正惯性指数与秩相等，（3） 有可逆矩阵，使合同于对角矩阵，且主对角线上的元素均大于等于零（4） 有实矩阵，使，（5） 的所有主子式皆大于等于零。练
