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1、第 6 页 共 16 页函数的基本性质一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定义：（略）定理1：那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间） 若，那么上是增函数； 上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性。3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：(1)当和具有相同的增减性时，的
2、增减性与相同，、的增减性不能确定；(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：的增减性不能确定；、为增函数，为减函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数的图象的对称性（自身）:定理1: 函数的图象关于直对称特殊的有：函数的图象关于直线对称。函数的图象关于轴对称（奇函数）。函数是偶函数关于对称。定理2：函数的图象关于点对称特殊的有：
3、 函数的图象关于点对称。 函数的图象关于原点对称（奇函数）。 函数是奇函数关于点 对称。定理3：（性质）若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:函
4、数与函数的图象关于直线(即轴)对称.函数与函数的图象关于直线对称.特殊地: 与函数的图象关于直线对称函数的图象关于直线对称的解析式为函数的图象关于点对称的解析式为函数y = f (x)与ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f (x)与xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a成轴对称。函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。3奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数和，若它们的定义域分别为和，且：（1）满足定义式子（偶）（奇）简单地说：奇函数奇函数=奇函数， 偶函数偶函数=偶函数， 奇函数奇函数=偶函数，
5、 偶函数偶函数=偶函数， 奇函数偶函数=奇函数. （2）在原点有定义的奇函数有(3)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：函数、也为奇函数；、为偶函数；两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4)当和具有相异的奇偶性时，那么：、的奇偶性不能确定；、为奇函数。（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性 关于轴对称的函数（偶函数）关于原点对称的函数（奇函数）（9）若是偶函数，则必有 若是奇函数，则必有（10）若为偶函数，则必有 若是奇函数，则必有（11）常见的奇偶函数三、函数的周期性函数的周期性反映了函数
6、的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1.周期性的定义对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、（）也是函数的周期。2. 函数的周期性的主要结论：结论1：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论2：如果（），那么是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那么是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论5
7、：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期结论9：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论10：如果或，那么是周期函数，其中一个周期结论11：如果，那么是周期函数，其中一个周期例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ）（第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函
8、数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)例6.求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。证: 为奇函数 -=2=0即=0是方程=0的根若是=0的根，即=0由奇数定义得=0也是方程的根即方程的根除=0外成对出现。方程根为奇数个。例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x
9、)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函数的图像关于直线y = x对称，y = g-1(x2) 反函数是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1x),当1x0时，f (
10、x) = x，则f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二 第一试题）解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当0x1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对
11、称中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B)一、 反函数的性质和应用（1）定义域值域相反 （2）图象关于对称 （3）具有相同的单调性、奇偶性（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数 （5）原函数过则反函数过反之亦然（6），但仅当才成立（二）奇偶函数性质（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有（
12、3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数（6）任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性（三） 周期性：定义、判断常见具有周期性的函数 或（四） 对称性：判断、性质（1）一个函数的对称性：1、函数关于对称或 或 显然： 特殊的有偶函数关于y（即x=0）轴对称，则有关系式 ；一般的有，函数关于直线 对称2、函数关于点对称或显然特殊的有奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式一般的有，函数关于点 对称3、函数自身不可能关于对
13、称，曲线则可能（2）两个函数的对称性：1、 与关于X轴对称。2、 与关于Y轴对称。3、 与关于直线对称。4、 与关于直线对称。5、 关于点(a,b)对称。6、与关于直线对称。7、关于直线对称（四）三性的综合应用3、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）A.0B.C.1D. 答案：A。解析：令，则；令，则由得，构造函数，由，所以（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且A A.-2 B.2 C.-98 D.98（08四川卷）函数满足，若，则( C )（） （） （） （）（2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则的值
14、为（ ）A、 B、1 C、 D、2（09江西卷）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为 ( C )A B C D (09东兴十月)定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，则_2009广东三校一模）定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于( B )A.-1 B.0 C.1 D.4 （2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用2bx代x得：f (2
