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1、新编高考数学复习资料第2讲合情推理与演绎推理基础巩固1.下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理;归纳推理是由一般到一般的推理;演绎推理是由一般到特殊的推理;类比推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.A.B.C.D.答案:D解析:归纳推理是由部分到整体的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理.2.下列推理是归纳推理的是()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a|AB|,则P点的轨迹为椭圆B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积r2,猜想出椭圆=1的面积S
2、=abD.以上均不正确答案:B解析:从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B项是归纳推理.3.观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,则72 011的末两位数字为()A.01B.43C.07D.49答案:B解析:(法一)由题意得,72 011=75024+3=(74)50273,由于74=2 401末位为1,倒数第二位为0,因此2 401502的末两位定为01.又73=343,(74)50273的末两位定为43.(法二)用归纳法:72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,76=117 649,77=823 543,由上知末
3、两位有周期性且T=4.又72 011=75024+3,72 011的末两位与73的末两位一样为43.4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:正确;错误.5.根据图中5个图形及相应圈的个数的变化规律,试猜测第n个图中有个圈
4、.()A.n2+1B.n2-nC.n+1D.n2-n+1答案:D解析:第(2)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向两个方向,每个方向一个圈,共有2(2-1)+1个圈;第(3)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向三个方向,每个方向两个圈,共有3(3-1)+1个圈;第(4)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向四个方向,每个方向三个圈,共有4(4-1)+1个圈;第(5)个图形,中间有1个圈,另外的圈指向五个方向,每个方向四个圈,共有5(5-1)+1个圈;由上面的变化规律,可猜测,第n个图形中心有1个圈,另外的圈指向n个方向,每个方向n-1个圈,共有n(n-1)+1=n2-n+1个圈.6.观察下列各式:a+
5、b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a10+b10等于()A.28B.76C.123D.199答案:C来源:解析:利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.7.在RtABC中,若C=90,AC=b,BC=a,则ABC外接圆半径r=.运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a
6、,b,c,则其外接球的半径R=.答案:解析:(构造法)通过类比可得R=.证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为a,b,c的长方体,则这个长方体的体对角线的长度是,故这个长方体的外接球的半径是,这也是所求的三棱锥的外接球的半径.8.在平面内有n(nN*,n3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这n条直线把平面分成f(n)个平面区域,则f(5)的值是,f(n)的表达式是.答案:16f(n)=解析:由题意,n条直线将平面分成+1个平面区域,故f(5)=16,f(n)=.9.下图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行;数字6,5,4(从左至
7、右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行;依次类推,则第63行从左至右的第8个数字为.答案:2 009来源:解析:由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第63行最左边的一个数是=2 016,从左至右的第8个数应是2 016-7=2 009.10.已知等式:sin25+cos235+sin 5cos 35=;sin215+cos245+sin 15cos 45=;sin230+cos260+sin 30cos 60=;.由此可归纳出对任意角度都成立的一个等式,并予以证明.解:归纳已知可得:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=.证明如下:sin2+cos2(+3
8、0)+sin cos(+30)=sin2+sin =sin2+=sin2+cos2-sin2=,等式成立.11.已知椭圆具有性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线=1写出具有类似特性的性质,并加以证明.解:类似的性质为:若M,N是双曲线=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.来源:证明:设点M,P的坐标分别为(m,n),(x,y),则点N的坐
9、标为(-m,-n).因为点M(m,n)在已知双曲线上,所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.故kPMkPN=(定值).12.已知函数f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.解:f(0)+f(1)=.同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.来源:由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明:f(x)+f(1-x)=.拓展延伸13.设f(n)=n2+n+41,nN*,计算f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.解:f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61,来源:f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数,归纳猜想:当nN*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数.n=40时,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141,f(40)是合数.因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
