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1、天津科技大学2014届本科生毕业设计矩阵函数以及应用毕业设计1 绪论1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史人们对矩阵（Matrix）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的九章算术，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以
2、线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同
3、关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。矩阵（Matrix）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（Sylvester）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学发展的历史长河中矩阵理论的创立者被一致认为是英国数学家凯莱（Cayley），是他最先将矩阵作为一个单独的数学上的概念提出来，并且关于矩阵的很多学术论文和著作都是他最早发表的。事实上最早的矩阵是从对大量行列式
4、的研究中分离出来的，因为和行列式对应的方阵本身就可以做许多的研究和运用，随着对行列式研究的深入，矩阵的许多知识点也日渐完善。从逻辑上讲，概念应先于行列式的矩阵的概念和历史上真正的顺序是恰恰相反的。在19世纪50年代，英国数学家凯莱（Cayley）公开展示了自己关于矩阵的最新研究成果-矩阵论的研究报告，这项研究成果使我们对矩阵的认识更深入了一步。本文定义了矩阵相等、矩阵的算法、矩阵的转置和基本概念，如矩阵的逆矩阵的加法，给出了系列，互换性和约束力。除此之外，英国数学家凯莱（Cayley）也给出了方阵的特征根（特征值），还有其他许多结论。矩阵的发展历史，著名的德国数学家弗洛伯纽斯（Frobeniu
5、s）起着非常重要的作用，他是第一个对矩阵中最小多项式问题作全面介绍的著名数学家。他还介绍了矩阵的秩、不变的因素和主要因素、正交矩阵相似变换等知识，矩阵的其他概念如合同，不变的因素和主要因素理论的逻辑排列的形式等等在他的著作中也有体现。在19世纪50年代，约丹经过潜心研究首先发表了把一般矩阵化为标准型矩阵的方法。到了19世纪90年代，梅茨勒（Metzler）首先提出了矩阵函数的基本概念，最后找到用幂级数形式将表示矩阵的方法，这些对矩阵的发展意义重大。此外，傅立叶（Fourier）与庞加莱（Poincare）研究的主要是无穷矩阵方面。到这时，矩阵已经相当完善了。矩阵最大的用途就是在实践中解用常规方
6、法难以求解的方程。另外一个在实际操作中很有意义的作用是代表线性变换，即是像f(x)、4x之类的关于线性函数的推论。矩阵的特征向量可以揭示一个线性变换的深层次特征。随着两个世纪中无数数学家的无私奉献，矩阵论已经成为了一门完善的数学分支。矩阵在很多方面都有重要应用，例如数学领域里，力学、物理学、工程数学、经济管理方面都有矩阵的出现。1.2 本文所做的主要工作矩阵理论包含的内容非常非常多，矩阵函数在矩阵理论中占据非常重要的位置，相比于矩阵函数中的其他知识，矩阵多项式比较容易理解，就是这样容易理解的矩阵多项式是我们对矩阵函数进行研究的理论基础。矩阵函数的定义方式有多种，本文主要是从多项式和幂级数两个方
7、面进行研究的。本文主要论述了矩阵函数以及应用。在文章的第一部分，总结了矩阵函数所必须的基础知识，主要包括代数学多项式理论、行列式与矩阵等方面的一些结论以及数学分析中幂级数的若干法则。文章的第二部分，总结了矩阵函数的概念、性质、推论，介绍了若干重要的矩阵函数。文章的第三部分，归纳了矩阵函数的若干计算方法，包括了Hamiltio-Cayley定理、利用相似对角化计算、利用Jordan标准型法进行计算、利用待定系数法求解等四种计算方法。在这部分的最后对这四种方法进行了比较，在比较中加深对矩阵函数求解的认识。可以根据计算过程中遇到的实际情形加以选择，将会给计算带来很大方便。本文的第四部分，通过查阅文献
8、和指导教师交流的方式，在求解线性微分方程过程中有对矩阵函数的应用研究，并介绍了在线性系统的可控性和可观性中矩阵函数的应用。本文的最后部分，通过Matlab编写能计算常用矩阵函数的程序，将使矩阵函数的计算更方便、迅速。2 矩阵函数2.1 研究本论文具备的数学基础为了进一步讨论和便于理解，引入以下研究本论文的相关概念：1、线性空间 在集合上具有一定的结构或符合一定的要求，那么这个集合就是特定的空间。如果是非空的集合，是数域。对里的元素定义代数类运算，叫作加法；就是给出一种规则，使中任意两个元素和，都能在中找到唯一的一个和它匹配，其中是与的和，记为。在数域与集合中的元素再定义另外一种运算，叫作数量乘
9、法；就是如果数域中任何一数与中的任何一个元素，在中都能找到一个元素和它匹配，是和的数量乘积，记为。若加法与数乘都同时符合它们的运算法则，那么就叫作数域上的线性空间。2、级数 级数知识是分析科学中一个重要的部分；这个概念经常出现在数学的其他分支。把数列的项，逐项相加得到的函数。数项级数简称级数。如：，缩写为，就是级数的通项，记作是级数的部分和。如果当时，数列极限有，级数就是收敛的，否则就是发散的。研究函数经常会用到级数，它不管在理论上还是实际中都有很多用途，原因主要有一下两个方面：一、许多经常用到的非初等函数可以用级数表示，级数还可以表示微分方程的解；二、函数可以用来表示级数，也能用级数去探讨函
10、数的性质。幂级数，是级数中非常重要的一种，被当作基础知识应用在实变型函数、复变型函数和其他许多基本领域中，在这些领域发挥巨大的作用。幂级数是指每一项均对应着级数项序号的常数倍的的次方（是从0递增的自然数，是常数）。幂级数与多项式形式非常接近，在许多方面有相似的特征，可以被视为“无限的多项式”。3、正定矩阵 在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。它的定义有广义和狭义之分。广义定义：设是阶方阵，如果有任意非零向量，都有， 是的转置，称为正定矩阵。例如：为阶矩阵，为单位矩阵，为正实数。在充分大时，为正定矩阵。（必须为对称阵）狭义定义：一个阶的实对称矩阵是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量，都
11、有。其中表示的转置。4、线性算子 线性算子，有数学运算各领域的线性性质（如线性变换，线性代数理论的微分方程，积分方程理论，微分，积分，积分变换）的抽象概括。它是研究线性泛函的一个重要目标。线性算子的用途很广，不但应用在数学的很多分支当中，同时对于量子物理也是重要的数学基础。 5、对称矩阵和反对称矩阵 对称矩阵的定义是：（的转置），对称的矩阵元素。反对称矩阵的定义为：(的转置前加负)它的首行与首列各元素绝对值相等，符号相反。即, 因此，在对角线上的元素，,有， 在非偶数域中，有，即反对称矩阵对角线元素为零，此性质只在非偶数域中成立。6、化零（零化）多项式给定矩阵，如果多项式，满足,则称是的化零多
12、项式，（一般取首项系数为1）。7、矩阵的谱半径 设是矩阵，是其特征值， = 1，2，。下面通过数学式子将其表示出来。假如表示的谱半径，即。也就是说矩阵的谱半径是矩阵的全部特征值求模的最大值；如果特征值是虚数，谱半径就是实部和虚部的平方和求算术平方根。8、 表示数域F上矩阵全体的线性空间；9、 表示复矩阵集；10、 数域F上的纯量多项式；11、矩阵的谱 矩阵通过数学运算计算出来的特征值的集合就是一个矩阵的谱，通过数学表达式表示出来也就是：表示的谱，即；12、其中次数最低的零化多项式称为矩阵的最小多项式，记做；13、文献1给出矩阵级数的定义：定义1：设是的矩阵序列，其中，无穷和称为矩阵级数，记为.
13、对正整数，记称为矩阵级数的部分和，如果矩阵序列收敛，且有极限，即，则称矩阵级数收敛，并称为矩阵级数的和，记为。不收敛的矩阵级数称为发散的.定义2：设，形如的矩阵级数称为矩阵幂级数.14、相似矩阵 设是阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵使,则称矩阵与相似的，记为.相似矩阵代表等价的关系。15、可对角化矩阵 如果阶方阵能与一个对角矩阵相似，就说可对角化。阶方阵可对角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量。对角矩阵(diagonal matrix)是一个矩阵主对角线之外的所有元素都是0。对角线上的元素可以是0或任何其他值。然后引入线性无关的概念。对向量组，如果有一组不全为零的数,然后 被称为向量组线性相关.
14、如果没有这样的,换句话就是向量等式当且仅当才成立,就称向量组是线性无关的.16、可逆矩阵 可逆矩阵是线性代数中的一种矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个阶方阵，若存在一阶方阵，使得（或、 满足任意一个），其中 为阶单位矩阵，则称 是可逆的，且是的逆矩阵，记作。2.2 矩阵函数的定义类比于代数中函数的定义，能知道定义域和值域都属于方阵的函数称为矩阵函数。矩阵函数的定义方式有很多种，为了便于进一步的研究，本文主要从经常使用的多项式和幂级数来定义矩阵函数。矩阵函数的多项式表示：设是数域F上的一个阶矩阵，简记为，是数域F上的一个次多项式，简记为，将此多项式中换成，其中换成单位矩阵，则矩阵函数可以定义为
15、：矩阵函数的幂级数表示：设，如果一元函数能够展开为z的幂级数=，R，其中表示该幂级数的收敛半径.当阶矩阵的谱半径时，把收敛的矩阵幂级数的和称为矩阵函数，记为，即=。2.3 一些矩阵函数的重要性质及推论性质1：和可交换，即证 设纯量多项式，则矩阵多项式为，于是= 性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（或差），即性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即性质4：若,则，即若，则证 由于，故存在可逆矩阵，使得，若是纯量多项式，则,即性质5：设，且,函数在上有定义，在上有定义，则证 设，的最小多项式的次数分别为和，则存在次数不超过的多项式和次数不超过的多项式，使得由于，因此对任意正整数，
16、有，从而A的多项式与B的多项式相乘时可交换，即得性质6：设，A的特征值都是正实数，是系数为非负实数的幂级数的和函数，它的收敛半径，则，且证 因为A的特征值都是正实数，且是系数为非负实数的幂级数的和函数，因此的特征值为，其中是A的特征值，所以若不恒为0，则，从而；若恒为0，则，从而。性质7：设，函数在上有定义，则证 由于与相似，因此，与有相同的谱，也有相同的最小多项式，由在上有定义，则在上有定义，且在与的谱上的值相同，因此可取相同的多项式，使得.所以性质8：设是对称矩阵，函数在上有定义，则是对称矩阵性质9：设是实对称矩阵，实函数在上有定义，且对A的任一特征值，有，则是正定矩阵。证 由为实函数，A是实对称矩阵，根据性质8知，是实对称矩阵，又因为的特征值为，其中
