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1、数论中的整除理论在各类考试中的运用数论中的整除理论在各类考试中的运用王体桥（西华师范大学 数学与应用数学，四川南充637000，)摘要 数论是研究整数性质的一个数学分支，而整除又是整数中的一个重要性质。整除理论是初等数论的基础，它是在带余除法的基础上建立起来的。整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论.这一理论可以通过不同的途径来建立，而这些正反映了近代数学中的十分重要的思想、概念与方法。整除理论在我们的中小学竞赛、公务员考试以及研究生入学考试中，得到了很大的应用。它不仅能考查应试者的计算、分析能力，还能考查其逻辑推理与举一反三的能力。关键词 整除理论，数论，中小学竞赛，公务员考试，研
2、究生考试Aliquot theory in the application of all kinds of exams in number theory（Department of mathematics and applied mathematics, China West Normal University， Nan Chong 637000，Email: ）Abstract Number theory is the study of integer nature of a branch of mathematics, and divisible is an important prope
3、rty of an integer。 Aliquot theory is the basis of elementary number theory， it is in established on the basis of the division。The center of the divisible theory content is a basic theorem of the arithmetic and the greatest common divisor theory. This theory can through different ways to set up， whic
4、h is reflected the modern mathematics the important thoughts， concepts and methods。 Aliquot theory in our elementary and middle schools, civil service exam， and in the postgraduate entrance examination competition， get a lot of applications。It can not only test the candidates calculation, analysis a
5、bility， also can test the ability of the logic reasoning and extrapolate.Keywords Aliquot theory， Number theory， Competition of primary and secondary schools, Civil service exam, Postgraduate examination.一、 整除理论的主要内容 1、基本含义 整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零。我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作ba，读作“b整除a或“a能被b整除”。它与除尽既有
6、区别又有联系。除尽是指数a除以数b(b0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）.因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。2、基本概况 整数集的一个关系,初等数论最基本概念之一。对整数a，b（b0），若存在整数c，使abc，则称b整除a,或称a,能被b整除,记作ba，b称为a的因数，a称为b的倍数。整除有下列基本性质:若ab,ac，则a|bc。若ab，则对任意c，abc。对任意a，1a,a
7、a。若a|b，ba,则|ab。对任意整数a,b，b0，存在唯一的整数q，r,使abqr,其中0rb，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。若ca，cb，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a,b的最大公因数.当d0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a,b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。3、基本性质 整除有下列基本性质：若ab，ac，则a|bc.（bc)若a|b，则对任意c(0除外),abc.对任意a，1|a，aa。若ab，ba，则|a|b。对任意整数a
8、，b，b0,存在唯一的整数q，r，使abqr，其中0rb，这个事实称为带余除法定理,是整除理论的基础.若ca，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数,且d可被a,b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d0时，d是a，b公因数中最大者.若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数。 4、基本规律 整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b（b0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零.除尽并不局限于整数范围内，被除
9、数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数，只要余数是零就可以了.它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。二、 整除理论与数论之间的关系 整除理论是初等数论的基础，它是对在小学就学过的关于整数的算术，主要是涉及除法运算的内容，作抽象的、系统的总结，在讨论中不能涉及分数.这看起来似乎很简单,但是它的内涵是十分重要而深刻的.数论中的整除理论内容包括最大公约数理论和数学中最重要、最基本、最著名的定理之一算术基本定理,即每个大于1的正整数必可唯一地表示为若干个素数的乘积。特别是初步讨论了自然数即正整数最重要的两个性质:自然数的归纳原理及由此推出的最小自然数原理,这是建立整除理论的基础.建立整除理论的重
10、要工具有带余除法及辗转相除法，利用带余除法建立了完整的最小公倍数与最大公约数理论。归纳原理与鸽巢原理是整除理论中的重要原理.它们对我们解答各类考试中有关整除理论知识的证明题有很大的帮助。三、 整除理论在中小学竞赛中的运用 以奥林匹克竞赛试题为依托，就中小学数学竞赛中所涉及的初等数论中整除理论问题，根据运用整除理论知识进行解题的方法与中小学数学竞赛试题中的解题方法，总结出作为竞赛辅导老师应具备对于相关知识的本质内容的理解并能对不同方法进行甄别、优化,以此作为对中小学生进行竞赛辅导的依据。例1、（2007年第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛）某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1,除以5也余
11、1，则这个数最小是多少?【解析】根据带余除法与整除的性质,这个数减1能同时被2、4、5整除，这个数加1能被3整除.2,4,5=20，所以这个数可表示成20k+1的形式，其中k为自然数，由这个数加1能被3整除，得（其中k为自然数）是整数。经检验可知，当k=0，1时,不是整数；当k=2时，是整数，所以满足题意的自然数最小是202+1=41。【点评】本题很好的考查了初等数论中整除理论的相关知识，主要运用到带余除法和整除性质来求解。不仅考查了学生的理解、分析能力,而且考查了学生的转化与逆向思维.例2、（1984年北京市初二数学竞赛试题）证明：对任给的一个正整数N，总存在一个适当交换1984的位数所得的
12、四位数使得7|(）。 【分析】本题是证明存在性问题.由于任意整数N的不确定性,使得我们不可能对每一个N都进行讨论，但可以通过按余数分类化无限为有限来讨论。事实上,不论N为何值，它关于模7的余数不外乎是0,1，2，3,4，5，6这七个值之一。因此，所有正整数实际上可被分成七类，即7k,7k+1，7k+6()。于是，证明本题的关键是:对上述每一类去找四位数使得7。这就是要求对应的与N关于模7的余数应该“互余,即它们关于模7的余数之和等于7。由1,9,8,4组成的四位数（无重复数字）共有24个，只需证在这24个数中，一定有7个数关于模7的余数恰好是0，1，2,3,4,5,6。【证明】由1,9,8,4
13、这四个数字可以排列成个无重复数字的四位数.不难验证,在这24个数中总可以找到关于模7的余数分别为0,1,2，3,4,5,6的7个数，例如1498=2147+0， 1849=2647+1, 1948=2787+2， 1984=2837+3,1894=2707+4, 1489=2127+5， 9184=13067+6。因此，对任意正整数N，设，在上面的7个数中，取相关模7的余数为7r的数作为对应的则必有7。例3、数学万花筒-趣题欣赏：鬼谷子问题:传说在春秋战国时期，鬼谷子随意从299中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓，把这两个数的乘积告诉了孙膑.但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天，
14、庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽,但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说:那我知道了。庞涓说:那我也知道了.问这两个数是什么？这个原问题可能很复杂,现在告诉你这两个数都在2-15中（但是庞涓和孙膑不知道）,你能指出孙膑和庞涓每句话的逻辑含义和这两个数么？【解析】2个人都不知道说明两个人得到的数都存在不止一种的分解方法，庞涓的话说明讲他得到的数分解成两个数的和，这两个数的乘积都存在另一种分解方式，而之后孙膑的话说明庞涓的话告诉他，庞涓得到的数只能是5197之中的某几个，而他所得到的乘积的各种分解方式中只有一种所得到的和在庞涓可能得到的数种。而庞涓最后一句话则说明，孙膑对于自己的数
15、的猜测让庞涓否定了和的其他分解方式.具体解法是考虑庞涓得到的数，一定是5-29，先否定质数+2，可以分解成两个质数的和的偶数，还剩下6、8、11、17、23、27、29.容易否定6、8，然后对于每种和的分解利用庞涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解4和13。五、 整除理论在公务员考试中的运用 公务员考试中整除理论的应用环境：第一,在文字描述上出现整除的时候,比如出现了“每“平均“倍数”等明显的整除字眼。第二，在数据上体现出整除的时候，比如出现了分数、百分数、比例、小数等。第三，在计算上用整除的时候，比如列式之后，式子很复杂,很难解。一般来说，和差倍比问题,特别是遇到含百分数、分数和比例的问题,可以根据题目中的倍数关系，利用整除性解题。一些多位数问题，也可以利用数的整除性绕过复杂的分析，直接排除错误选项来解题。例4、某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5，员工总数比去年增加3人。问今年男员工有多少人?A.329 B.350 C。371 D。504【解析】此题答案为A.今年男员工人数比去年减少6%，则设去年有男员工x人,去年女员工有(830x）人。根据今年员工数=去年员工数+3,可得（16%)x+（1+5%）（830
