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1、直线和圆锥曲线常常观察的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的地点关系都有订交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线订交于一点，但其实不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但其实不相切直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，能够转变为它们的方程所构成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的地点关系。解决直线和圆锥曲线的地点关系的解题步骤是：（ 1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在（ 2）联立直线和曲线的方程组；（ 3）议论类一元二次方程（ 4）一
2、元二次方程的鉴别式（ 5）韦达定理，同类坐标变换（ 6）同点纵横坐标变换（ 7）x,y，k(斜率)的取值范围（ 8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：xx1x2,yy1y2，B(x2,y2)的中22，此中x,y是点A(x1,y1)点坐标。2、弦长公式：若点，,y2)在直线ykxb(k0)上，A(x1,y1)B(x2则y1kx1b，y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)2(1k2)(x1x2)2(1k2)(xx)24xx1212或许AB(x1x2)2(y1y2)2(1
3、x11x2)2(y1y2)2(112)(y1y2)2kkk(112)(y1y2)24y1y2。k3、两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直：则k1k21r r两条直线垂直，则直线所在的向量v1gv204、韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不一样的根x1,x2，则x1x2b,x1x2c，x1x2V。aaa常有题型：题型一：数形联合确立直线和圆锥曲线的地点关系例题1、已知直线l:yx2y2一直有交点，求m的取值范围kx1与椭圆C:14m思路点拨：直线方程的特色是过定点（0，1），椭圆的特色是过定点（-2，0）和（2，0），和动点m),且m4。（0，解：依据直线l:yk
4、x1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:x2y21过动4m点（0，m),且m4，假如直线l:ykx1和椭圆C:x2y21一直有交点，则4mm1，且m4，即1m且m4。规律提示：经过直线的代数形式，能够看出直线的特色：l:ykx1过定点（0，1）l:yk(x1)过定点（1，0）l:y2k(x1)过定点（1，2）证明直线过定点，也是将知足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。练习1、过点P(3,2)和抛物线yx23x2只有一个公共点的直线有（）条。A4B3C2D1题型二：弦的垂直均分线问题弦的垂直均分线问题和对称问题是一种解题思想，第一弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂
5、直（两直线的斜率之积为-1）和均分（中点坐标公式）。例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：y2x交于A、B两点，在x轴上能否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明原因。剖析：过点T(-1,0)的直线和曲线N：y2x订交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，能够设直线的方程，联立方程组，消元，剖析类一元二次方程，看鉴别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直均分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的3倍。运用弦长公式求弦长。2解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线l:yk(x1)，k0，A(x1
6、,y1)，B(x2,y2)。由yk(x1)消y整理，得y2xk2x2(2k21)xk20由直线和抛物线交于两点，得(2k21)24k44k210即0k214由韦达定理，得：x1x22k21,x1x21。2k2k2则线段AB的中点为11(2k2,2k)。线段的垂直均分线方程为：y11(x12k22)2kk2k令y=0,得x011112，则E(2k2,0)2k22Q ABE为正三角形，E(113,0)到直线AB的距离d为AB。2k222QAB(x1x2)2(y1y2)214k22k2g1kd1k22k312k解得k4k221k22g1k2k39知足式13此时x5。03k，利用韦达定理法，将弦的中点
7、用k表示出来，再利思想规律：直线过定点设直线的斜率用垂直关系将弦的垂直均分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的3倍，将k确立，从而求出x0的坐标。2y21(a练习2：已知椭圆C:x2b0)过点(1,3)，且离心率e1。a2b222（）求椭圆方程；（）若直线l:ykxm(k0)与椭圆交于不一样的两点M、N，且线段MN的垂直均分线过定点G(1,0)，求k的取值范围。8题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C：x2y21(ab0)的离心率为3，且在x轴上的极点分别为a2b22A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线l:xt(t2)与x轴交于
8、点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线12PA,PA分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN能否经过椭圆的焦点并证明你的结论。剖析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A、A的坐标都知道，能够设直线12PA、PA的方程，直线PA和椭圆交点是A(-2,0)和M，经过韦达定理，能够求出点M的坐1211标，同理能够求出点N的坐标。动点P在直线l:xt(t2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程能够求出P点的纵坐标，获得两条直线的斜率的关系，经过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，假如解出的t2，就能够了，不然就不存在。解：（I）由已知椭圆c32,则得c3,b1。C的离心率e，aa2从而椭圆的方程为x2y214（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为yk1(x2)，由yk1(x2)消y整理得(14k12)x216k2x
