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1、江苏省东海高级中学2008届高三奥赛班数学阶段测试题一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、命题“对任意的”的否定是 ( C )A 不存在 B 存在 C 存在 D 对任意的2、的定义域为， 值域为则区间的长度的最小值为( B )A3 B C2 D3、等差数列的通项公式是，其前项和为，则数列的前10项和为（ A ） A75 B70 C120 D1004、已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为外心，动点P满足,则P的轨迹定过的（ D ） A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点5、若是偶函数，则点()的轨迹方程( B ) 6、定义在上的偶函数，满足，且在上是减函数下面五个关于
2、的命题中，命题正确的个数有( C ) 是周期函数；的图像关于对称；在上是减函数；在上为增函数； （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共5分）7、已知集合A=1，3，m，B=3，4，若BA，则实数m的值是 4 8、在三角形ABC中，若，则该三角形的最大内角等于.9、已知关于的函数.如果时,其图象恒在轴的上方,则的取值范围是.10、ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量，若则角C的大小为 11、若为的各位数字之和，如，则；记，则 11 .12、若数列an的通项公式an，记，试通过计算，的值，推测出 13、对于函数，在使M成立
3、的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数的“上确界”，则函数的“上确界”为 2 .14、函数在区间上与直线只有一个公共点，且截直线所得的弦长为，则满足条件的一组参数和的值可以是.15、函数的图象和函数的图象的交点个数为 3 .16、某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 c （填入中的某个字母）三、解答题（本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分12分）设命题函数是上的减函
4、数，命题函数 在的值域为若“且”为假命题，“或”为真命题，求的取值范围.解：由得3分，在上的值域为得 7分且为假，或为真 得、中一真一假 若真假得， 9分若假真得， 11分综上，或 12分.18（本小题满分12分）在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1) 求函数的解析式和定义域；(2) 求的最大值.解：（1）的内角和 1分 4分 6分（2）8分11分当即时，y取得最大值 12分19（本小题满分13分）已知函数的定义域为，值域为-5,4；函数 .() 求函数g(x)的最小正周期和最大值;() 当, 且g(x) =5时, 求tan x.解：f(x)=a(1cos2x)sin2xb=a(cos2x
5、sin2x)ab=2a sin(2x)ab .-2分x，2x，sin(2x). 显然a=0不合题意.-3分(1) 当a0时,值域为,即-5分(2) 当a0时,值域为,即6分() 当a0时，g(x)=3sinx-4cosx=5sin(x+j1), T=2p, g(x)max=5;当a0时，g(x)= -3sinx+2cosx=sin(x+j2), T=p, g(x)max=.8分()由上可知，当a0时, 由g(x)=5sin(x+j1)，且tanj1=-, g(x)max=5，此时x+j12kp +(kZ).则x=2kp +-j1(kZ), x(0, p)，tanx=cot j1-.10分当a0
6、时, g(x)max=5，所以不存在符合题意的x. 12分综上，tan x=. -13分20（本题满分13分）已知向量m =(1,1),向量n 与向量m 的夹角为，且mn （1）求向量n；（2）若向量n与向量a = (1,0) 的夹角为，向量b =（），其中A，C是ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求n+ b的取值范围（1）解：设，由，得-2分 向量与向量的夹角为， 又 ，则-4分 解得或 或-6分（2）解：由向量与向量的夹角为，可知 由2B=A+C知B=，A+C=，0A-8分 若，则-10分0A，2A ， -12分 -13分21（本题满分15分）某公司有价值a万元的一条流水线，要提
7、高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：与和的乘积成正比；当，；其中为常数，且(1)设，求出的表达式，并求出的定义域； (2)求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值解：(1)设由，得：k=4于是，- -3分解关于x的不等式：，得0x- -5分函数的定义域为，为常数，- -7分(2) 当；- -9分当上为增函数，故当 - -11分故时，投入时，附加值最大为万元；- -13分当时，投入时，附加值最大为万元- -15分22（本题满分15分）设函数f（x）的定义域为R，当x0时，f（x）1，且对任意的实数x，yR，有f（x+y）=f（x）f（y） （）求f（0），判断并证明函数f（x）的单调性； （）数列an满足a1=f（0），且求an通项公式。当a1时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围。解：（）时，f（x）1令x=1，y=0则f（1）=f（1）f（0）f（1）1f（0）=1 2分若x0，则f（xx）=f（0）=f（x）f（x）故故xR f（x）0 4分任取x1x2 故f（x）在R上减函数 6分（） 由f（x）单调性知，an+1=an+2 故an等差数列 8分 是递增数列 13分当n2时， 14分即而a1，x1故x的取值范围（1，+） 15分
