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1、专题12 导数的概念与运算【背一背】一、函数的平均变化率: 设函数在附近有定义,当自变量在附近改变量为时,函数值相应地改变,则平均变化率为。一般地,函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为在处的导数 1)定义:当趋近于零时,趋近于常数c。可用符号“”记作:当时,或记作,符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率,通常称作在处的导数,并记作。2)导数的几何意义与物理意义导数的几何意义,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够的重视。三、导函数 如果在开区间内每一点都是可导的,则称在区间可导。这
2、样,对开区间内每个值,都对应一个确定的导数。于是,在区间内,构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数的导函数。记为或(或)。四.导数的四则运算法则:(1)导数的四则运算法则: 若f(x)、g(x)均为可导函数,则(1) f(x)g(x)f(x)g(x); (2) f(x)g(x)f(x)g(x);(3) cf(x)cf(x)(c为常数); (4) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(5)(g(x)0).(2)复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.五.几种常见函数的导数: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
3、(8) 六、注意事项 1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后。 (3)求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量 3. 表示处的导数,即是函数在某一点的导数;表示函数在某给定区间内的导函数,此时是在上的函数,即是在内任一点的导数。4.可以利用导数求曲线的切线方程由于函数在处的导数,表示曲线在点处切线的斜率,因此,曲线在点处的切线方程可如下求得:(1)求出函数在点处的导数,即曲线在点处切线的斜率。(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为:,如果曲线在点的切线平行于轴(此时导数不存在)时,由切线定义可知,切线方程为. 希望对大家有所帮助,多谢您的浏览!